Ableitungen ganzrationaler Funktionen Ableitungen gebrochen-rationaler Funktionen
Eine Folgerung aus der Quotientenregel ist die Ableitung gebrochen-rationaler Funktionen.
Ableitung gebrochen-rationaler Funktionen:
Jede gebrochen-rationale Funktion \(f:D\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(D\subseteq \mathbb{R}\) ist differenzierbar auf ihrem Definitionsbereich \(D\). Ist dabei
\(\qquad f(x)=\dfrac{p(x)}{q(x)}\)
mit Polynomfunktionen \(p(x)\) und \(q(x)\), so gilt für die Ableitung von \(f(x)\)
\(\qquad f'(x)=\dfrac{p'(x)\cdot q(x)-p(x)\cdot q'(x)}{q(x)^2}\)
Die Ableitungen \(p'(x)\) und \(q'(x)\) werden hierbei nach der Ableitungsregel für Polynomfunktionen ermittelt.
Beispiel:
Die gebrochen-rationale Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=\dfrac{x^3+7}{x^2+1}\)
ist differenzierbar mit der folgenden Ableitung:
\(\qquad f'(x)=\dfrac{p'(x)\cdot q(x)-p(x)\cdot q'(x)}{q(x)^2}\)
\(\phantom{\qquad f'(x)}=\dfrac{(x^3+7)'\cdot (x^2+1)-(x^3+7)\cdot (x^2+1)'}{(x^2+1)^2}\)
\(\phantom{\qquad f'(x)}=\dfrac{3x^2\cdot (x^2+1)-(x^3+7)\cdot 2x}{x^4+2x^2+1}\)
\(\phantom{\qquad f'(x)}=\dfrac{3x^4+3x^2-2x^4-14x}{x^4+2x^2+1}\)
\(\qquad f'(x)=\dfrac{x^4+3x^2-14x}{x^4+2x^2+1}\)
\(\enspace\)