Ableitungen gebrochen-rationaler Funktionen Ableitungen von Potenzfunktionen mit negativem Exponenten
Mit Hilfe der Quotientenregel können auch Ableitung von Potenzfunktionen mit negativem Exponenten berechnet werden.
Ableitung von Potenzfunktionen mit negativem Exponenten:
Die gebrochen-rationalen Funktionen \(f_n:\mathbb{R}\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(n\in \mathbb{N}^*\) und
\(\qquad f_n(x)=\dfrac{1}{x^n}\)
sind differenzierbar. Für die Ableitung von \(f_n(x)\) gilt
\(\qquad f_n'(x)=-\dfrac{n}{x^{n+1}}\)
Herleitung
Wir wenden für die Funktion
\(\qquad f_n(x)=\dfrac{1}{x^n}\)
die Quotientenregel an und erhalten
\(\qquad f_n'(x)=\dfrac{1'\cdot x^n-1\cdot (x^n)'}{(x^n)^2}\)
Wir bilden die Ableitungen, wobei die Ableitung einer konstanten Funktion \(0\) ist. Wir erhalten also
\(\qquad f_n'(x)=\dfrac{0\cdot x^n-n\cdot x^{n-1}}{x^{2n}}\)
Nun vereinfachen wir den Zähler und kürzen den Term \(x^{n-1}\).
\(\qquad f_n'(x)=-\dfrac{n\cdot x^{n-1}}{x^{2n}}=-\dfrac{n}{x^{2n}\cdot x^{-(n-1)}}\)
Wir fassen die Terme im Nenner zusammen und erhalten die Ableitung der Funktion.
\(\qquad f_n'(x)=-\dfrac{n}{x^{2n-(n-1)}}=-\dfrac{n}{x^{2n-n+1}}=-\dfrac{n}{x^{n+1}}\)
Beispiel:
Die Funktion \(f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=\dfrac{1}{x^3}\)
ist differenzierbar mit der folgenden Ableitung:
\(\qquad f'(x)=-\dfrac{3}{x^{3+1}}=-\dfrac{3}{x^4}\)
In der folgenden Animation sind die Funktionen \(f(x)=\frac{1}{x^n}\) für \(n\in\{1,2,3,4,5,6\}\) mit ihren Ableitungen dargestellt. Bewegen Sie den Knopf auf dem Schieberegler, um den gewünschten Exponenten zu erhalten.
\(\enspace\)