Ableitungen von Potenzfunktionen mit negativem Exp… Ableitungen von Potenzfunktionen mit reellem Exponenten
Wird der Definitionsbereich geeignet gewählt, dann lassen sich auch Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten und Potenzfunktionen mit reellem Exponenten ableiten. Zu den Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten zählen die Wurzelfunktionen.
Wir geben die Ableitungsregeln ohne Beweis an, da sie sich in einfacher Weise aus den schon aufgelisteten Regeln ergeben oder einfach direkt hergeleitet werden können.
Die Funktionen \(f_{n}:\ ]0,\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(n\in \mathbb{N}^*\) und
\(\qquad f_n(x)=\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}\)
sind differenzierbar. Für die Ableitung von \(f_n(x)\) gilt
\(\qquad f_n'(x)=\dfrac{1}{n}\cdot x^{\frac{1}{n}-1}=\dfrac{\sqrt[n]{x}}{n\cdot x}\)
Beispiel:
Die Funktion \(f:\ ]0,\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(\qquad f(x)=\sqrt[5]{x}=x^{\frac{1}{5}}\) ist differenzierbar mit der folgenden Ableitung: \(\qquad f'(x)=\dfrac{1}{5}\cdot x^{\frac{1}{5}-1}=\dfrac{\sqrt[5]{x}}{5\cdot x}\) | \(\qquad\) |  |
Die Funktionen \(f_{m/n}:\ ]0,\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(m,n\in \mathbb{N}^*\) und
\(\qquad f_{m/n}(x)=(\sqrt[n]{x})^m=x^{\frac{m}{n}}\)
sind differenzierbar. Für die Ableitung von \(f_{m/n}(x)\) gilt
\(\qquad f_{m/n}'(x)=\dfrac{m}{n}\cdot x^{\frac{m}{n}-1}=\dfrac{m}{n\cdot \sqrt[n]{x^{n-m}}}=\dfrac{m\cdot \sqrt[n]{x^{m}}}{n\cdot x}\)
Beispiel:
Die Funktion \(f:\ ]0,\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(\qquad f(x)=\sqrt[3]{x^2}=x^{\frac{2}{3}}\) ist differenzierbar mit der folgenden Ableitung: \(\qquad f'(x)=\dfrac{2}{3}\cdot x^{\frac{2}{3}-1}=\dfrac{2}{3\cdot\sqrt[3]{x}}=\dfrac{2\cdot \sqrt[3]{x^2}}{3\cdot x}\) | \(\qquad\) |  |
Die Funktionen \(f_r:\ ]0,\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(r\in \mathbb{R}\) und
\(\qquad f_r(x)=x^r\)
sind differenzierbar. Für die Ableitung von \(f_r(x)\) gilt
\(\qquad f_r'(x)=r\cdot x^{r-1}\)
Beispiel:
Die Funktionen \(f:\ ]0,\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) und \(g:\ ]0,\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=x^{1.41}+x^{-\frac{22}{7}}\qquad\) und \(\qquad g(x)=x^{\sqrt{2}}+x^{-\pi}\)
unterscheiden sich kaum in ihrem Schaubild. Während die Funktion \(f(x)\) rationale Exponenten besitzt, weist die Funktion \(g(x)\) reelle Exponenten auf.
Die rationale Zahl \(1.41\) ist eine gute Näherung für die nicht-rationale Zahl \(\sqrt{2}\). Auch die rationale Zahl \(\frac{22}{7}\) stellt eine gute Näherung der nicht-rationalen Zahl \(\pi\) dar.
Die Ableitungen der Funktionen lauten:
\(\qquad f'(x)\phantom{\dfrac{a^x}{b^x}}\) | \(=1.41\cdot x^{1.41-1}-\dfrac{22}{7}\cdot x^{-\frac{22}{7}-1}\) \(=1.41\cdot x^{0.41}-\dfrac{22}{7}\cdot x^{-\frac{29}{7}}\) \(=1.41 \cdot x^{0.41}-\dfrac{22}{7x^{\frac{29}{7}}}\) |
\(\qquad g'(x)\phantom{\dfrac{a^x}{b^x}}\) | \(=\sqrt{2} \cdot x^{\sqrt{2}-1}-\pi \cdot x^{-\pi-1}\) \(=\dfrac{\sqrt{2} \cdot x^{\sqrt{2}}}{x}-\dfrac{\pi \cdot x^{-\pi}}{x}\) \(=\dfrac{\sqrt{2} \cdot x^{\sqrt{2}}-\pi\cdot x^{-\pi}}{x}\) |
Auch die Ableitungen beider Funktionen unterscheiden sich kaum im Schaubild.
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