Um die Differenzierbarkeit der Funktion an der Stelle \(x_0\) nachzuweisen und den Wert der Ableitung der Funktion \(h\) mit

\(\qquad h(x) = f(x) - g(x)\)

an der Stelle \(x_0\) zu berechnen, bilden wir zuerst den Differenzenquotienten:

\(\qquad \dfrac{\Delta h}{\Delta x}=\dfrac{h(x_0+\Delta x)-h(x_0)}{\Delta x}\)

Wir setzen

\(\qquad h(x_0+\Delta x)=f(x_0 + \Delta x)-g(x_0 + \Delta x)\)

und

\(\qquad h(x_0)=f(x_0)-g(x_0)\)

in die Definition des Differenzenquotienten ein und erhalten

\(\qquad \dfrac{\Delta h}{\Delta x}=\dfrac{h(x_0+\Delta x)-h(x_0)}{\Delta x}\) \(=\dfrac{(f(x_0+\Delta x)-g(x_0+\Delta x))-(f(x_0)-g(x_0))}{\Delta x}\)

Wir lösen die Klammern auf und ordnen die Terme im Zähler anders an. Das führt zu

\(\qquad \dfrac{\Delta h}{\Delta x}=\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)-(g(x_0+\Delta x)-g(x_0))}{\Delta x}\)

Nun machen wir aus einem Bruch zwei Brüche.

\(\qquad \dfrac{\Delta h}{\Delta x}=\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}-\dfrac{g(x_0+\Delta x)-g(x_0)}{\Delta x}\)

Wir können nun den ersten Bruch auf der rechten Seite als Differenzenquotienten für \(f(x)\) schreiben und den zweiten Bruch als Differenzenquotienten für \(g(x)\).

\(\qquad \dfrac{\Delta h}{\Delta x}=\dfrac{\Delta f}{\Delta x}-\dfrac{\Delta g}{\Delta x}\)

Wir bilden nun den Grenzübergang:

\(\qquad h'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta h}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\left(\dfrac{\Delta f}{\Delta x}-\dfrac{\Delta g}{\Delta x}\right)\)

Nach den Rechenregeln für Grenzwerte können wir aus dem Grenzwert einer Summe eine Summe aus zwei Grenzwerten machen, da die beiden Einzelgrenzwerte nach Voraussetzung existieren.

\(\qquad h'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta f}{\Delta x}-\lim\limits_{\Delta x \to 0}\dfrac{\Delta g}{\Delta x}\)

Wir können jetzt weiter vereinfachen und erhalten

\(\qquad h'(x_0)=f'(x_0)-g'(x_0)\)

Hiermit haben wir die Summenregel für Differenzen gezeigt.