Lernmodul: Ableitungen

Functions

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Aufgabe 2

Die Ableitung wurde falsch gebildet. Wo steckt der Fehler?
\(\tiny \blacksquare\)
\(\enspace\)
\(f(x)\enspace\)
\(=x^3-3x^2+5\)
\(f'(x)\)
\(=3x^2+6x+5\)
\(\tiny \blacksquare\)
\(g(x)\)
\(=x^2+a^3-2x+3\)
\(g'(x)\)
\(=2x+3a^2-2\)
Lösung:
Die korrekten Ableitungen lauten:
\(\tiny \blacksquare\)
\(\enspace\)
\(f(x)\enspace\)
\(=x^3-3x^2+5\)
\(f'(x)\)
\(=3x^2-6x\)
\(\tiny \blacksquare\)
\(g(x)\)
\(=x^2+a^3-2x+3\)
\(g'(x)\)
\(=2x-2\)
Erläuterung:
Wir betrachten die Funktion \(f(x)=x^3-3x^2+5\):
Wir leiten die Funktion unter Verwendung der Ableitungsregeln ab.
(1)
\(\quad\)
Anwendung der Summenregel
\(\quad\)
\(f'(x)=(x^3)'-(3x^2)'+(5)'\)
(2)
Anwendung der Konstantenregel
\(f'(x)=(x^3)'-(3x^2)'\)
(3)
Anwendung der Faktorregel
\(f'(x)=(x^3)'-3\cdot (x^2)'\)
(4)
Anwendung der Potenzregel
\(f'(x)=3x^2-3\cdot 2x\)
(5)
Vereinfachen der Terme
\(f'(x)=3x^2-6x\)
Der erste Fehler tritt bei (1) auf. Statt eines negativen Vorzeichens erhält der zweite Term ein positives Vorzeichen.
Der zweite Fehler tritt bei (2) auf. Die Ableitung einer Konstanten ergibt den Wert \(0\).
Wir betrachten die Funktion \(g(x)=x^2+a^3-2x+3\):
Wir leiten die Funktion unter Verwendung der Ableitungsregeln ab.
(1)
\(\quad\)
Anwendung der Summenregel
\(\quad\)
\(g'(x)=(x^2)'+(a^3)'-(2x)'+(3)'\)
(2)
Anwendung der Konstantenregel
\(g'(x)=(x^2)'-(2x)'\)
(3)
Anwendung der Faktorregel
\(g'(x)=(x^2)'-2(x)'\)
(4)
Anwendung der Potenzregel
\(g'(x)=2x-2\)
Der Fehler tritt bei (2) auf. Statt den Term \(a^3\) als konstant mit Ableitung \(0\) zu betrachten, wird der Parameter \(a\) wie die Unbekannte \(x\) behandelt und später nach der Potenzregel abgeleitet.
\(\enspace\)
 Quellen 
 Glossar 
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