Die Ableitungen lauten:

Zur Berechnung der Ableitungen verwenden wir die Quotientenregel für folgende Funktion:

\(\qquad h(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}\)

Die Quotientenregel lautet dann:

\(\qquad h'(x)=\dfrac{u'(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v'(x)}{(v(x))^2}\)

Die Ableitung von \(f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}\) berechnet sich mit der Quotientenregel wie folgt:

\(\qquad h'(x)=\dfrac{(x+1)'\cdot (x-1)-(x+1)\cdot (x-1)'}{(x-1)^2}\)

\(\qquad h'(x)=\dfrac{1\cdot (x-1)-(x+1)\cdot 1}{(x-1)^2}=\dfrac{x-1-x-1}{(x-1)^2}=-\dfrac{2}{(x-1)^2}\)

Die Ableitung von \(f(x)=\dfrac{1+2x}{x+1}\) berechnet sich mit der Quotientenregel wie folgt:

\(\qquad h'(x)=\dfrac{(1+2x)'\cdot (x+1)-(1+2x)\cdot (x+1)'}{(x+1)^2}\)

\(\qquad h'(x)=\dfrac{2\cdot (x+1)-(1+2x)\cdot 1}{(x+1)^2}=\dfrac{2x+2-1-2x}{(x+1)^2}=\dfrac{1}{(x+1)^2}\)

Die Ableitung von \(f(x)=\dfrac{x+1}{x}\) berechnet sich mit der Quotientenregel wie folgt:

\(\qquad h'(x)=\dfrac{(x+1)'\cdot x-(x+1)\cdot (x)'}{x^2}\)

\(\qquad h'(x)=\dfrac{1\cdot x-(x+1)\cdot 1}{x^2}=\dfrac{x-x-1}{x^2}=-\dfrac{1}{x^2}\)

Die Ableitung von \(f(x)=\dfrac{x+2}{x^2}\) berechnet sich mit der Quotientenregel wie folgt:

\(\qquad h'(x)=\dfrac{(x+2)'\cdot x^2-(x+2)\cdot (x^2)'}{(x^2)^2}\)

\(\qquad h'(x)=\dfrac{1\cdot x^2-(x+2)\cdot 2x}{x^4}=\dfrac{x^2-2x^2-4x}{x^4}=\dfrac{-x^2-4x}{x^4}=-x\cdot\dfrac{x+4}{x^4}=-\dfrac{x+4}{x^3}\)