Aufgabe 3 Ableitung der e-Funktion und der ln-Funktion
Mit den bisher vorgestellten Regeln können wir bereits von sehr vielen Funktionen die Ableitungsfunktion bilden ohne den Weg über den Differentialquotienten gehen zu müssen. Andere wichtige Funktionenklassen lassen sich damit aber immer noch nicht ableiten.
Für einige dieser Funktionen stellen wir nun Regeln zusammen:
Ableitung der natürlichen Exponentialfunktion:
Die natürliche Exponentialfunktion \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=e^x\)
ist differenzierbar. Ihre Ableitung lautet:
\(\qquad f'(x)=e^x\)
Die [could not resolve link target: il_6326_git_1806] und ihre Vielfachen sind die einzigen Funktionen, deren Ableitungsfunktion wiederum die Funktion selbst ergibt. Zeigen lässt sich die Gleichheit der \(e\)-Funktion und ihrer Ableitungsfunktion über die Reihenentwicklung der \(e\)-Funktion, auf die wir hier verzichten möchten.
Die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion ist die natürliche Logarithmusfunktion. Auch sie ist differenzierbar. Die Herleitung der Ableitungen von Umkehrfunktionen wird Stoff der Vorlesungen sein. Wir werden deshalb an dieser Stelle auf die Herleitung der Ableitungsfunktion des natürlichen Logarithmus verzichten.
Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion:
Die natürliche Logarithmusfunktion \(f : \ ]0,\infty[ \longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=\ln(x)\)
ist differenzierbar. Ihre Ableitung lautet:
\(\qquad f'(x)=\dfrac{1}{x}\)
Beispiel:
Um die Ableitung der Funktion \(f:\ ]0,\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=\ln(e^2x^3)\)
zu berechnen, vereinfachen wir zuerst den Funktionsterm, indem wir Rechenregeln zum Rechnen mit Logarithmen anwenden:
\(\qquad f(x)=\ln(e^2x^3)\) \(=\ln(e^2)+\ln(x^3)\) \(=2\ln(e)+3\ln(x)\) \(=2+3\ln(x)\)
Nun leiten wir die Funktion ab und verwenden hierzu die Summenregel, die Konstantenregel und die Faktorregel.
\(\qquad f'(x)=\underbrace{(2)'}_{\substack{\textsf{Konstanten-} \\ \textsf{regel}}}\overbrace{+}^{\substack{\textsf{Summen-} \\ \textsf{regel}}}\underbrace{(3\cdot \ln(x))'}_{\substack{\textsf{Faktor-} \\ \textsf{regel}}}\) \(=0+3\cdot (\ln(x))'\) \(=3\cdot \dfrac{1}{x}\) \(= \dfrac{3}{x}\)
\(\enspace\)