Ableitung der e-Funktion und der ln-Funktion Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion
Auch die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen \(\sin(x)\) und \(\cos(x)\) lassen sich über die Differentiation ihrer Potenzreihe herleiten. Wir wollen an dieser Stelle nur die Ableitungen dieser trigonometrischen Funktionen angeben.
Ableitung der Sinusfunktion:
Die Sinusfunktion \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=\sin(x)\)
ist differenzierbar. Ihre Ableitung lautet:
\(\qquad f'(x)=\cos(x)\)
Ableitung der Kosinusfunktion:
Die Kosinusfunktion \(f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=\cos(x)\)
ist differenzierbar. Ihre Ableitung lautet:
\(\qquad f'(x)=-\sin(x)\)
Beispiel:
Um die Ableitung der Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=\sin(x)\cdot \cos(x)\)
zu berechnen, benutzen wir die Produktregel:
\(\qquad f'(x)=(\sin(x))'\cdot \cos(x)+\sin(x)\cdot (\cos(x))'\)
\(\phantom{\qquad f'(x)}=\cos(x)\cdot \cos(x)+\sin(x)\cdot (-\sin(x))\)
\(\phantom{\qquad f'(x)}=\cos^2(x)-\sin^2(x)\)
Mithilfe des trigonometrischen Pythagoras \((\sin^2(x)+\cos^2(x)=1)\) können wir die Ableitung auch anders ausdrücken:
\(\qquad f'(x)=(1-\sin^2(x))-\sin^2(x)=1-2\sin^2(x)\)
oder
\(\qquad f'(x)=\cos^2(x)-(1-\cos^2(x))=2\cos^2(x)-1\)
\(\enspace\)