Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion Ableitung der Tangens- und der Kotangensfunktion
Zur Berechnung der Ableitung der trigonometrischen Funktionen \(\tan(x)\) und \(\cot(x)\) greifen wir auf die Quotientenregel und die Ableitungen der Sinus- und Kosinusfunktion zurück.
Ableitung der Tangensfunktion:
Die Tangensfunktion \(f : \mathbb{R}\setminus\{\frac{\pi}{2}+k\cdot\pi,k\in\mathbb{Z}\} \longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\)
ist differenzierbar. Ihre Ableitung lautet:
\(\qquad f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}\qquad\) oder \(\qquad f'(x)=1+\tan^2(x)\)
Herleitung
Wir wenden für die Funktion
\(\qquad f(x)=\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\)
die Quotientenregel an und erhalten
\(\qquad f'(x)=\dfrac{(\sin(x))' \cdot \cos(x)-\sin(x)\cdot (\cos(x))'}{\cos^2(x)}\)
\(\phantom{\qquad f'(x)}=\dfrac{\cos(x) \cdot \cos(x)-\sin(x)\cdot (-\sin(x))}{\cos^2(x)}\)
\(\phantom{\qquad f'(x)}=\dfrac{\cos^2(x) +\sin^2(x)}{\cos^2(x)}\)
Wir haben nun zwei Möglichkeiten, das Ergebnis zu vereinfachen. Wir können den trigonometrischen Pythagoras anwenden und erhalten als Ableitung
\(\qquad f'(x)=\dfrac{\cos^2(x) +\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\dfrac{1}{\cos^2(x)}\)
oder wir zerlegen den Bruch in zwei Brüche und erhalten als Ableitung
\(\qquad f'(x)=\dfrac{\cos^2(x) +\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\dfrac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)} +\dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x)\)
Ableitung der Kotangensfunktion:
Die Kotangensfunktion \(f : \mathbb{R}\setminus \{k\cdot\pi,k\in\mathbb{Z}\} \longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=\cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\)
ist differenzierbar. Ihre Ableitung lautet:
\(\qquad f'(x)=-\dfrac{1}{\sin^2(x)}\qquad\) oder \(\qquad f'(x)=-1-\cot^2(x)\)
Herleitung
Wir wenden für die Funktion
\(\qquad f(x)=\cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}\)
die Quotientenregel an und erhalten
\(\qquad f'(x)=\dfrac{(\cos(x))' \cdot \sin(x)-\cos(x)\cdot (\sin(x))'}{\sin^2(x)}\)
\(\phantom{\qquad f'(x)}=\dfrac{-\sin(x) \cdot \sin(x)-\cos(x)\cdot \cos(x)}{\sin^2(x)}\)
\(\phantom{\qquad f'(x)}=-\dfrac{\sin^2(x) +\cos^2(x)}{\sin^2(x)}\)
Wir haben nun zwei Möglichkeiten, das Ergebnis zu vereinfachen. Wir können den trigonometrischen Pythagoras anwenden und erhalten als Ableitung
\(\qquad f'(x)=-\dfrac{\sin^2(x) +\cos^2(x)}{\sin^2(x)}=-\dfrac{1}{\sin^2(x)}\)
oder wir zerlegen den Bruch in zwei Brüche und erhalten als Ableitung
\(\qquad f'(x)=-\dfrac{\sin^2(x) +\cos^2(x)}{\sin^2(x)}=-\dfrac{\sin^2(x)}{\sin^2(x)} -\dfrac{\cos^2(x)}{\sin^2(x)}=-1-\cot^2(x)\)
Beispiel:
Um die Ableitung der Funktion \(f:\mathbb{R}\setminus \{k\cdot \frac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}\}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=\tan(x)-\cot(x)\)
zu berechnen, benutzen wir die Summenregel:
\(\qquad f'(x)=(\tan(x))'-(\cot(x))'\)
\(\phantom{\qquad f'(x)}=\dfrac{1}{\cos^2(x)}-\left(-\dfrac{1}{\sin^2(x)}\right)\)
\(\phantom{\qquad f'(x)}=\dfrac{1}{\cos^2(x)}+\dfrac{1}{\sin^2(x)}\)
Wir bringen beide Terme auf den Hauptnenner und vereinfachen den Zähler mithilfe des trigonometrischen Pythagoras \((\sin^2(x)+\cos^2(x)=1)\):
\(\qquad f'(x)=\dfrac{\sin^2(x)+\cos^2(x)}{\cos^2(x)\cdot\sin^2(x)}=\dfrac{1}{\cos^2(x)\cdot\sin^2(x)}\)
Wir hätten die Ableitung auch anders bilden können:
\(\qquad f'(x)=(\tan(x))'-(\cot(x))'\)
\(\phantom{\qquad f'(x)}=1+\tan^2(x)-(-1-\cot^2(x))\)
\(\phantom{\qquad f'(x)}=1+\tan^2(x)+1+\cot^2(x)\)
\(\phantom{\qquad f'(x)}=2+\tan^2(x)+\cot^2(x)\)
\(\enspace\)