Ableitung der Tangens- und der Kotangensfunktion Kettenregel
Die Ableitungsregeln, die wir bisher durchgesprochen haben, decken die wesentlichen Funktionen in ihren Grundformen ab. Komplizierter aufgebaute Funktionen lassen sich dadurch jedoch noch nicht behandeln. Hier hilft die Kettenregel.
Kettenregel:
Sind \(g : I \longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(I\subseteq \mathbb{R}\) und \(h: J\longrightarrow \mathbb{R} \) mit \(J\subseteq \mathbb{R}\) zwei Funktionen mit \(g(I)\subseteq J\) und ist \(g\) differenzierbar in \(x_0\in I\) und \(h\) differenzierbar in \(y_0=g(x_0)\), so ist die Komposition
\(\qquad f = h \circ g : I \longrightarrow \mathbb{R}\qquad\) mit \(f(x)=h(g(x))\)
differenzierbar in \(x_0\) und die Ableitung lautet
\(\qquad f'(x_0)=(h\circ g)'(x_0)=h'(y_0)\cdot g'(x_0)=h'(g(x_0))\cdot g'(x_0)\)
Die Multiplikation mit dem Faktor \(g'(x_0)\) wird auch oft als "Nachdifferenzieren" bezeichnet.
Beispiel:
Die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=\sqrt{1+x^2}\)
ist die Verkettung \(f=h\circ g\) der beiden differenzierbaren Funktionen
\(\qquad g:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\qquad\) mit \(\qquad g(x)=1+x^2\)
und
\(\qquad h:\ ]0,\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\qquad\) mit \(\qquad h(x)=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}\)
Zu beachten ist, dass \(g(x)\gt0\) für alle \(x\), da zu \(1\) eine Quadratzahl, die größer gleich \(0\) ist, addiert wird.
Dabei gilt
\(\qquad g'(x)=2x\qquad\) und \(\qquad h'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot x^{-\frac{1}{2}}=\dfrac{1}{2\cdot \sqrt{x}}\)
Daher ist \(f\) nach der Kettenregel differenzierbar und die Ableitung lautet
\(\qquad f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)=h'(1+x^2)\cdot g'(x)=\dfrac{1}{2\cdot \sqrt{1+x^2}}\cdot 2x=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\)
\(\enspace\)