Kettenregel Beispiele zur Kettenregel
Wir möchten nun noch weitere Beispiele zur Kettenregel angeben.
Beispiel:
Gesucht ist die Ableitung der Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=\sin(x^3-2x)\).
Anwendung der Kettenregel
Die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=\sin(x^3-2x)\)
ist die Zusammensetzung \(f=h\circ g\) der beiden differenzierbaren Funktionen
\(\qquad g:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\qquad\) mit \(\qquad g(x)=x^3-2x\)
und
\(\qquad h:\ \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\qquad\) mit \(\qquad h(x)=\sin(x)\)
Dabei gilt
\(\qquad g'(x)=3x^2-2\qquad\) und \(\qquad h'(x)=\cos(x)\)
Daher ist \(f\) nach der Kettenregel differenzierbar und die Ableitung lautet
\(\qquad f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)=h'(x^3-2x)\cdot g'(x)=\cos(x^3-2x)\cdot (3x^2-2)\)
Beispiel:
Gesucht ist die Ableitung der Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=e^{4x^2-3x+2}\).
Anwendung der Kettenregel
Die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=e^{4x^2-3x+2}\)
ist die Zusammensetzung \(f=h\circ g\) der beiden differenzierbaren Funktionen
\(\qquad g:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\qquad\) mit \(\qquad g(x)=4x^2-3x+2\)
und
\(\qquad h:\ \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\qquad\) mit \(\qquad h(x)=e^x\)
Dabei gilt
\(\qquad g'(x)=8x-3\qquad\) und \(\qquad h'(x)=e^x\)
Daher ist \(f\) nach der Kettenregel differenzierbar und die Ableitung lautet
\(\qquad f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)=h'(4x^2-3x+2)\cdot g'(x)=e^{4x^2-3x+2}\cdot (8x-3)\)
Beispiel:
Gesucht ist die Ableitung der Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=10\ln(1+x^2)\).
Anwendung der Kettenregel
Die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=10\ln(1+x^2)\)
ist die Zusammensetzung \(f=h\circ g\) der beiden differenzierbaren Funktionen
\(\qquad g:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\qquad\) mit \(\qquad g(x)=1+x^2\)
und
\(\qquad h:\ \ ]0,\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\qquad\) mit \(\qquad h(x)=10\ln(x)\)
Zu beachten ist, dass \(g(x)\gt0\) für alle \(x\).
Dabei gilt
\(\qquad g'(x)=2x\qquad\) und \(\qquad h'(x)=\dfrac{10}{x}\)
Daher ist \(f\) nach der Kettenregel differenzierbar und die Ableitung lautet
\(\qquad f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)=h'(1+x^2)\cdot g'(x)=\dfrac{10}{1+x^2}\cdot 2x=\dfrac{20x}{1+x^2}\)
Beispiel:
Gesucht ist die Ableitung der Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=e^{\cos(x)}\).
Anwendung der Kettenregel
Die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=e^{\cos(x)}\)
ist die Zusammensetzung \(f=h\circ g\) der beiden differenzierbaren Funktionen
\(\qquad g:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\qquad\) mit \(\qquad g(x)=\cos(x)\)
und
\(\qquad h:\ \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\qquad\) mit \(\qquad h(x)=e^x\)
Dabei gilt
\(\qquad g'(x)=-\sin(x)\qquad\) und \(\qquad h'(x)=e^x\)
Daher ist \(f\) nach der Kettenregel differenzierbar und die Ableitung lautet
\(\qquad f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)=h'(\cos(x))\cdot g'(x)=e^{\cos(x)}\cdot (-\sin(x))=-\sin(x)e^{\cos(x)}\)
\(\enspace\)