Wir haben gesehen, dass die natürliche Exponentialfunktion \(f(x)=e^x\) differenzierbar ist mit der Ableitungsfunktion \(f'(x)=e^x\). Wie bestimmen wir aber die Ableitungsfunktion einer Exponentialfunktion, deren Basis nicht die Zahl \(e\) ist?

Hierzu nutzen wir aus, dass \(e^{\ln(t)}=t\) mit \(t>0\).

Um die Ableitung der Funktion \(f(x)=a^x\) mit \(a>0\) zu bilden, formen wir die Funktion zuerst mithilfe von Logarithmengesetzen um.

\(\qquad f(x)=a^x=e^{\ln(a^x)}=e^{x\cdot \ln(a)}\)

Diese Funktion lässt sich nun mithilfe der Kettenregel ableiten.

\(f(x)\) ist die Zusammensetzung \(f=h\circ g\) der beiden differenzierbaren Funktionen

\(\qquad g:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\qquad\) mit \(\qquad g(x)=x\cdot \ln(a)\)

und

\(\qquad h:\ \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\qquad\) mit \(\qquad h(x)=e^x\)

Dabei gilt

\(\qquad g'(x)=\ln(a)\qquad\) und \(\qquad h'(x)=e^x\)

Daher ist \(f\) nach der Kettenregel differenzierbar und die Ableitung lautet

\(\qquad f'(x)=h'(g(x))\cdot g'(x)=h'(x\cdot \ln(a))\cdot g'(x)=e^{x\cdot\ln(a)}\cdot\ln(a)\)

Wir können nun \(e^{x \cdot \ln(a)}\) wieder umformen zu \(a^x\). Die Ableitungsfunktion von

\(\qquad f(x)=a^x\)

lautet also

\(\qquad f'(x)=\ln(a)\cdot a^x\)

Die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit

\(\qquad f(x)=2^x\)

hat die Ableitung

\(\qquad f'(x)=\ln(2)\cdot 2^x\)