Tabelle der Ableitungen elementarer Funktionen Stetige Differenzierbarkeit einer Funktion
Wir haben bisher viele Funktionen differenziert und Ableitungsfunktionen erhalten. Wir haben gesehen, dass es differenzierbare und nicht-differenzierbare Funktionen gibt. Uns interessieren jetzt aber noch Aussagen über die Stetigkeit der Ableitungen von Funktionen.
Eine Voraussetzung für die Differenzierbarkeit einer Funktion ist, dass die Funktion stetig ist. Ist die Funktion an einer Stelle \(x_0\) stetig, dann stimmen der linksseitige und der rechtsseitige Grenzwert an der Stelle \(x_0\) überein. Dies haben wir bereits im Kurs "Folgen, Grenzwerte und Stetigkeit" kennengelernt. Und nur an solchen Stellen, an denen die Funktion stetig ist, können wir die Funktion auf ihre Ableitung hin untersuchen. Ist die Ableitungsfunktion \(f'\) nun auch wieder eine stetige Funktion, so heißt die Funktion \(f\) stetig differenzierbar.
Definition:
Die differenzierbare Funktion \(f:D\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(D\subseteq \mathbb{R}\) heißt stetig differenzierbar, wenn die Ableitungsfunktion \(f':D\longrightarrow\mathbb{R}\) eine stetige Funktion ist.
Die meisten Funktionen, die wir bisher betrachtet haben, sind stetig differenzierbar. Es gibt aber auch Funktionen, wie das folgende Beispiel zeigt, die differenzierbar, aber nicht stetig differenzierbar sind.
Beispiel:
Die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)= x^2\cdot\sin(x) \)
ist stetig und überall differenzierbar mit der Ableitung
\(\qquad f'(x)= 2x\cdot\sin(x)+x^2\cdot\cos(x)\)
Die Ableitungsfunktion \(f'\) ist stetig. Somit ist die Funktion \(f\) stetig und stetig differenzierbar.
Beispiel:
Die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)= \Bigg\{\begin{array}{l l} x^2\cdot\sin\left(\dfrac{1}{x}\right) & \textsf{für} & x\ne 0 \\ 0& \textsf{für} & x=0\end{array}\)
ist überall differenzierbar mit der Ableitung
\(\qquad f'(x)= \Bigg\{\begin{array}{l l} 2x\cdot\sin\left(\dfrac{1}{x}\right)-\cos\left(\dfrac{1}{x}\right) & \textsf{für} & x\ne 0 \\ 0 & \textsf{für} & x=0\end{array}\)
Die Ableitungsfunktion \(f'\) ist an der Stelle \(x_0=0\) nicht stetig. Und somit ist die Funktion \(f\) stetig und differenzierbar. Sie ist aber nicht stetig differenzierbar.
\(\enspace\)