Stetige Differenzierbarkeit einer Funktion Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion \(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(\qquad f(x)=x\cdot e^{-x}\) Berechnen Sie die Ableitungsfunktion und geben Sie an, welche Ableitungsregeln Sie verwendet haben. Erklärung Lösung: \(\qquad f'(x)=\dfrac{1-x}{e^x}\) Zur Berechnung der Ableitung wurden die Produktregel, die Potenzregel und die Kettenregel verwendet. Schaubild  Erläuterung: Zur Berechnung der Ableitung der Funktion kommen die Produktregel, die Potenzregel und die Kettenregel zur Anwendung. \(\qquad f'(x)=\overbrace{\underbrace{(x)'}_{\substack{\textsf{Potenz-} \\ \textsf{regel}}}\cdot e^{-x}+x\cdot\underbrace{(e^{-x})'}_{\substack{\textsf{Ketten-} \\ \textsf{regel}}}}^{\textsf{Produktregel}}\) \(\qquad f'(x)=1\cdot e^{-x}+x\cdot (-e^{-x})\) \(=e^{-x}-xe^{-x}\) \(=(1-x)e^{-x}\) \(=\dfrac{1-x}{e^x}\) |  |
\(\enspace\)