Aufgabe 1 Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion \(f:D\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(\qquad f(x)=\sqrt{\sin(x)}\) Geben Sie den Definitionsbereich an. Wie lautet die Ableitungsfunktion? Erklärung Lösung: \(\qquad D=\{x\in \mathbb{R}\ |\ 2k\pi\le x\le 2k\pi+\pi, k\in\mathbb{Z}\}\) \(\qquad f'(x)=\dfrac{\cos(x)}{2\sqrt{\sin(x)}}\) Schaubild  Erläuterung: Die Funktion ist an den Stellen definiert, an denen der Term unter der Wurzel nicht-negativ ist. Der Sinus ist nicht-negativ zwischen den \(x\)-Werten \(0\) und \(\pi\). Dann wird er negativ. Zwischen den \(x\)-Werten \(2\pi\) und \(3\pi\) ist er wieder nicht-negativ, usw. Der Definitionsbereich lautet also: \(\qquad D=\{x\in \mathbb{R}\ |\ 2k\pi\le x\le 2k\pi+\pi, k\in\mathbb{Z}\}\) Zur Berechnung der Ableitung der Funktion formen wir die Funktion um \(\qquad f(x)=\sqrt{\sin(x)}=(\sin(x))^{\frac{1}{2}}\) und benutzen dann die Kettenregel: \(\qquad f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot (\sin(x))^{\frac{1}{2}-1}\cdot (\sin(x))'\) \(=\dfrac{\cos(x)}{2}\cdot (\sin(x))^{-\frac{1}{2}}\) \(\phantom{\qquad f'(x)}=\dfrac{\cos(x)}{2\cdot (\sin(x))^{\frac{1}{2}}}\) \(=\dfrac{\cos(x)}{2\cdot \sqrt{\sin(x)}}\) |  |
\(\enspace\)