Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse:\(\qquad N(-1\,|\,0)\)

Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse:\(\qquad S_y(0|1)\)

Die Ableitungsfunktion lautet:

\(\qquad f'(x)=3^x\cdot(\ln(3)\cdot x+\ln(3)+1)\)

Zur Berechnung der Ableitung wurden die Konstantenregel, die Potenzregel, die Summenregel, die Produktregel und die Kettenregel verwendet.

Zur Berechnung des Schnittpunkts mit der \(x\)-Achse müssen wir erst die Nullstellen berechnen:

\(\qquad f(x)=3^x\cdot (x+1)=0\)

Da \(3^x\) größer \(0\) ist, können wir durch \(3^x\) dividieren und erhalten

\(\qquad x+1=0\)

\(\qquad x=-1\)

Die Nullstelle liegt bei \(-1\). Der Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse lautet also \(N(-1\,|\,0)\).

Zur Berechnung des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse müssen wir den \(y\)-Achsenabschnitt berechnen:

\(\qquad f(0)=3^0\cdot (0+1)=1\cdot 1=1\)

Der \(y\)-Achsenabschnitt liegt bei \(1\). Der Schnittpunkt mit der \(y\)-Achse lautet also \(S_y(0\,|\,1)\).

Zur Berechnung der Ableitung wurden die Konstantenregel, die Potenzregel, die Summenregel, die Produktregel und die Kettenregel verwendet.

\(\qquad f'(x)=\overbrace{\underbrace{(3^x)'}_{\substack{\textsf{Ketten-} \\ \textsf{regel}}}\cdot (x+1)+3^x\cdot\underbrace{(\underbrace{x}_{\substack{\textsf{Potenz-} \\ \textsf{regel}}}+\underbrace{1}_{\substack{\textsf{Konstanten-} \\ \textsf{regel}}})'}_{\substack{\textsf{Summen-} \\ \textsf{regel}}}}^{\textsf{Produktregel}}\)

\(\qquad f'(x)=\ln(3)\cdot 3^x\cdot (x+1)+3^x\cdot 1\)

\(\phantom{\qquad f'(x)}=3^x\cdot \big(\ln(3)\cdot (x+1)+1\big)\) \(=3^x\cdot (\ln(3)\cdot x+\ln(3)+1)\)