Aufgabe 3 Höhere Ableitungen
Ist \(f:D\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(D\subseteq \mathbb{R}\) eine differenzierbare Funktion, so ist auch \(f':D\longrightarrow \mathbb{R}\) wieder eine Funktion. Wir können uns nun fragen, welche Eigenschaften \(f'\) hat.
Definition:
Die differenzierbare Funktion \(f:D\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(D\subseteq \mathbb{R}\) heißt zweimal differenzierbar, wenn die Ableitung \(f':D\longrightarrow\mathbb{R}\) eine differenzierbare Funktion ist.
In diesem Fall schreiben wir \(f''(x)\) für \((f')'(x)\) und nennen \(f''(x)\) die zweite Ableitung von \(f\) an der Stelle \(x\).
Beispiel:
Die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=x^2+2x+3\)
ist differenzierbar mit der Ableitung
\(\qquad f'(x)=2x+2\)
Außerdem ist \(f'\) differenzierbar. Daher ist \(f\) zweimal differenzierbar mit
\(\qquad f''(x)=2\)
Wir können nun die zweite Ableitung wiederum differenzieren und alle weiteren Ableitungen ebenfalls, wenn sie denn existieren. Wir gelangen so zu höheren Ableitungen.
Definition:
Die differenzierbare Funktion \(f:D\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(D\subseteq \mathbb{R}\) heißt \(k\)-mal differenzierbar, wenn die \((k-1)\)-te Ableitung von \(f\) existiert und differenzierbar ist.
Für \(k\gt 3\) schreiben wir in der Regel \(f^{(k)}(x)\) für die \(k\)-te Ableitung von \(f\) an der Stelle \(x\).
Beispiel:
Die Exponentialfunktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=e^x\)
ist beliebig oft differenzierbar und es gilt
\(\qquad f^{(k)}(x)=e^x\qquad\) mit \(\qquad k\in\mathbb{N}^*\)
\(\enspace\)