Höhere Ableitungen Höhere Ableitungen rationaler Funktionen
Ist \(f\) eine ganzrationale Funktion, so ist auch \(f'\) eine ganzrationale Funktion und damit auch jede weitere Ableitung von \(f\). Speziell ist also \(f\) beliebig oft differenzierbar.
Ist \(n\) der Grad des Polynoms \(f\), so ist \(f'\) ein Polynom vom Grad \(n-1\), \(f''\) ein Polynom vom Grad \(n-2\), usw. \(f^{k}\) ist also ein Polynom vom Grad \(n-k\). Insbesondere ist
\(\qquad f^{(k)}(x)=0\qquad\) für \(\qquad k\ge n+1\)
Beispiel:
Die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=x^3-x^2+2x+3\)
hat die folgenden Ableitungen
| \(\qquad\) |  |
Ist \(f\) eine gebrochen-rationale Funktion, so ist \(f'\) ebenfalls eine gebrochen-rationale Funktion und damit auch jede weitere Ableitung von \(f\). Speziell ist also \(f\) beliebig oft differenzierbar.
Beispiel:
Die Funktion \(f:\mathbb{R}\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=\dfrac{1}{x}\)
hat die folgenden Ableitungen
| \(\qquad\) |  |
Merke:
Ganzrationale Funktionen und gebrochen-rationale Funktionen sind beliebig oft differenzierbar.
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