\(\qquad f'(x)=\dfrac{1-x^2}{(1+x^2)^2}\)

\(\qquad f''(x)=\dfrac{-6x+2x^3}{(1+x^2)^3}\)

\(\qquad f'''(x)=\dfrac{-6+36x^2-6x^4}{(1+x^2)^4}\)

Wir wenden die Quotientenregel an und erhalten die erste Ableitung:

Wir wenden die Quotientenregel und die Kettenregel an und berechnen die zweite Ableitung. Zuerst erhalten wir mit der Quotientenregel:

\(\qquad f''(x)=\dfrac{(1-x^2)'\cdot (1+x^2)^2-(1-x^2)\cdot ((1+x^2)^2)'}{((1+x^2)^2)^2}\)

Nun leiten wir \((1+x^2)^2\) mit der Kettenregel ab:

\(\qquad ((1+x^2)^2)'=2\cdot (1+x^2)^1 \cdot (x^2)'=2\cdot(1+x^2)\cdot 2x=4x\cdot(1+x^2)\)

Wir setzen diese Ableitung in die 2. Ableitung ein:

\(\qquad f''(x)=\dfrac{-2x\cdot (1+x^2)^2-(1-x^2)\cdot 4x\cdot (1+x^2)}{(1+x^2)^4}\)

Nun klammern wir den Term \((1+x^2)\) im Zähler aus und kürzen diesen Term:

\(\qquad f''(x)=\dfrac{(1+x^2)\cdot [-2x\cdot (1+x^2)-(1-x^2)\cdot 4x]}{(1+x^2)^4}\)

\(\qquad\phantom{f''(x)}=\dfrac{-2x\cdot (1+x^2)-(1-x^2)\cdot 4x}{(1+x^2)^3}\)

Abschließend vereinfachen wir den Zähler, indem wir die Klammern ausmultiplizieren und die Terme geeignet zusammenfassen:

\(\qquad f''(x)=\dfrac{-2x-2x^3-4x+4x^3}{(1+x^2)^3}=\dfrac{-6x+2x^3}{(1+x^2)^3}\)

Wir wenden erneut die Quotientenregel und die Kettenregel an und berechnen die dritte Ableitung. Zuerst erhalten wir mit der Quotientenregel:

\(\qquad f'''(x)=\dfrac{(-6x+2x^3)'\cdot (1+x^2)^3-(-6x+2x^3)\cdot ((1+x^2)^3)'}{((1+x^2)^3)^2}\)

Nun leiten wir \((1+x^2)^3\) mit der Kettenregel ab:

\(\qquad ((1+x^2)^3)'=3\cdot (1+x^2)^2 \cdot (x^2)'=3\cdot(1+x^2)^2\cdot 2x=6x\cdot(1+x^2)^2\)

Wir setzen diese Ableitung in die 3. Ableitung ein:

\(\qquad f'''(x) =\dfrac{(-6+6x^2)\cdot (1+x^2)^3-(-6x+2x^3)\cdot 6x\cdot (1+x^2)^2}{(1+x^2)^6}\)

Nun klammern wir den Term \((1+x^2)^2\) im Zähler aus und kürzen diesen Term:

\(\qquad f'''(x) =\dfrac{(1+x^2)^2\cdot [(-6+6x^2)\cdot (1+x^2)-(-6x+2x^3)\cdot 6x]}{(1+x^2)^6}\)

\(\qquad \phantom{f'''(x)} =\dfrac{(-6+6x^2)\cdot (1+x^2)-(-6x+2x^3)\cdot 6x}{(1+x^2)^4}\)

Abschließend vereinfachen wir den Zähler, indem wir die Klammern ausmultiplizieren und die Terme geeignet zusammenfassen:

\(\qquad f'''(x) =\dfrac{-6-6x^2+6x^2+6x^4-(-36x^2+12x^4)}{(1+x^2)^4}\)

\(\qquad \phantom{f'''(x)} =\dfrac{-6+6x^4+36x^2-12x^4}{(1+x^2)^4}=\dfrac{-6+36x^2-6x^4}{(1+x^2)^4}\)