Einleitung in das Themengebiet Monotonie
Wir betrachten die Monotonie einer Funktion. Bereits im Kurs "Funktionen" haben wir uns mit der Monotonie von Funktionen auseinandergesetzt. Wir möchten hier noch einmal die Definition wiederholen.
Definition:
Wir betrachten eine Funktion \(f: D \longrightarrow \mathbb R\) und setzen voraus, dass \(D\) ein Intervall ist.
Dann heißt \(f\)
\(\tiny\blacksquare\enspace\) | streng monoton wachsend, |
wenn \(f(x_1) < f(x_2)\quad\) für alle \(x_1, x_2 \in D\) mit \(x_1 < x_2\) | |
\(\tiny\blacksquare\enspace\) | streng monoton fallend, |
wenn \(f(x_1) > f(x_2)\quad\) für alle \(x_1, x_2 \in D\) mit \(x_1 < x_2\) |
Schauen wir uns die Steigung der Tangente an eine Funktion an, so erkennen wir, dass die Funktion streng monoton steigt, wenn die Steigung der Tangente größer als \(0\) ist, und streng monoton fällt, wenn die Steigung der Tangente kleiner als \(0\) ist. Die Steigung der Tangente, d.h. die Ableitung der Funktion, und die Monotonie der Funktion hängen also zusammen. Wir können deshalb festhalten:
Monotonie:
Wir betrachten eine Funktion \(f: D \longrightarrow \mathbb R\) und setzen voraus, dass \(D\) ein Intervall ist.
Ist \(f'(x)\gt 0 \) für alle \(x\in D\), so ist \(f \) streng monoton wachsend.
Ist \(f'(x)<0\) für alle \(x\in D\), so ist \(f\) streng monoton fallend.
Gibt es dagegen \(x_1\in D\) und \(x_2\in D\) mit \(f'(x_1)>0\) und \(f'(x_2)<0\), so ist \(f\) weder streng monoton wachsend noch streng monoton fallend.
In der Animation sind Bereiche, in denen die Funktion streng monoton wachsend ist, durchgehend gezeichnet. Bereiche, in denen die Funktion streng monoton fallend ist, sind gestrichelt dargestellt. Der blaue Punkt \((x_0\,|\,f(x_0))\) auf der Funktion kann entlang der Funktion verschoben werden. Es wird die Tangente an die Funktion in diesem Punkt dargestellt und der Wert der Tangentensteigung. Ist die Tangentensteigung negativ, so ist die Funktion streng monoton fallend. Ist die Steigung positiv, so ist die Funktion streng monoton wachsend.
Beispiel:
Für die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)= \dfrac{1}{6} \cdot x^3+\dfrac{1}{2}\cdot x+1\)
gilt
\(\qquad f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot x^2+\dfrac{1}{2}\)
Da Quadratzahlen immer größer oder gleich \(0\) sind, ist
\(\qquad f'(x)=\dfrac{1}{2}\cdot x^2+\dfrac{1}{2}>0\)
für alle \(x\) und damit ist \(f\) streng monoton wachsend.
\(\enspace\)