Monotonie Beispiele zur Monotonie
Wir möchten nun noch weitere Beispiele zur Monotonie angeben.
Beispiel:
Wir untersuchen die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=e^x\) auf Monotonie.
Untersuchung auf Monotonie
Die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=e^x\)
hat die Ableitung
\(\qquad f'(x)=e^x\)
Da die Ableitung \(f'\) größer \(0\) ist für alle \(x\in\mathbb{R}\), ist die Funktion \(f\) streng monoton wachsend.
Beispiel:
Wir untersuchen die Funktion \(f:D\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(D=\mathbb{R}\setminus \left\{\dfrac{\pi}{2}+k\cdot \pi, k\in\mathbb{Z}\right\}\) und \(f(x)=\tan(x)\) auf Monotonie.
Untersuchung auf Monotonie
Die Funktion \(f:D\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(D=\mathbb{R}\setminus \left\{\dfrac{\pi}{2}+k\cdot \pi, k\in\mathbb{Z}\right\}\) und
\(\qquad f(x)=\tan(x)\)
hat die Ableitung
\(\qquad f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}\)
Die Ableitung \(f'\) ist größer \(0\) für alle \(x\in D\). Trotzdem ist die Funktion \(f\) nicht überall streng monoton wachsend. Denn es ist etwa
\(\qquad \dfrac{\pi}{4}\lt \dfrac{3\pi}{4}\)
aber
\(\qquad \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1\qquad\) und \(\qquad \tan\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=-1\)
und damit
\(\qquad \tan\left(\dfrac{\pi}{4}\right)> \tan\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)\)
Der Tangens ist also nicht global streng monoton steigend. Er ist jedoch streng monoton steigend auf jedem Intervall der Form \(\left]k\pi-\dfrac{\pi}{2},k\pi+\dfrac{\pi}{2}\right[\) mit \(k\in\mathbb{Z}\).
Dieses Beispiel zeigt, dass die Voraussetzung "\(D\) ist ein Intervall" in der Aussage über die Monotonie notwendig ist.
Beispiel:
Wir untersuchen die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=\cos(x)\) auf Monotonie.
Untersuchung auf Monotonie
Die Funktion\(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=\cos(x)\)
hat die Ableitung
\(\qquad f'(x)=-\sin(x)\)
Damit ist
\(\qquad f'\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=-1<0\qquad\) und
\(\qquad f'\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=-\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=1>0\)
Der Kosinus ist also weder streng monoton steigend noch streng monoton fallend. Er ist jedoch streng monoton fallend auf jedem Intervall der Form \(\left]2k\pi,2k\pi+\pi\right[\) mit \(k\in\mathbb{Z}\), und streng monoton steigend auf jedem Intervall der Form \(\left]2k\pi+\pi,2k\pi+2\pi\right[\) mit \(k\in\mathbb{Z}\).
Im Schaubild ist die Funktion in den Bereichen, in denen sie streng monoton fallend ist, gestrichelt dargestellt, und in den Bereichen, in denen sie monoton wachsend ist, durchgehend.
Beispiel:
Wir untersuchen die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=x^2\) auf Monotonie.
Untersuchung auf Monotonie
Die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=x^2\)
hat die Ableitung
\(\qquad f'(x)=2x\)
Damit ist
\(\qquad f'(1)=2\cdot 1=2>0\qquad\) und \(\qquad f'(-1)=2\cdot (-1)=-2<0\)
Also ist die Funktion \(f\) weder streng monoton steigend noch streng monoton fallend.
Schränken wir den Definitionsbereich auf die negativen Zahlen ein, so ist \(f'(x)\lt 0\) für alle \(x\lt 0\). Die Funktion \(f\) ist also für \(x<0\) streng monoton fallend.
Entsprechend ist \(f'(x)>0\) für alle \(x>0\). Die Funktion \(f\) ist also für alle \(x>0\) streng monoton wachsend.
Im Schaubild ist die Funktion in dem Bereich, in dem sie streng monoton fallend ist, gestrichelt dargestellt, und in dem Bereich, in dem sie monoton wachsend ist, durchgehend.
Beispiel:
Wir untersuchen die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=x^3-3x^2+2\) auf Monotonie.
Untersuchung auf Monotonie
Die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=x^3-3x^2+2\)
hat die Ableitung
\(\qquad f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2)\)
Wir untersuchen, wann die Ableitung \(f'\) größer oder kleiner \(0\) ist:
- \(f'(x)>0\), wenn die beiden Terme \(3x\) und \(x-2\) größer \(0\) sind oder die beiden Terme kleiner \(0\) sind.
- \(f'(x)<0\), wenn ein Term größer \(0\) und der andere Term kleiner \(0\) ist.
Für \(f'(x)>0\) kann also einerseits gelten:
\(\qquad 3x>0\qquad\) und \(\qquad x-2>0\)
Das heißt, dass für diesen Fall insgesamt gelten muss:\(\qquad x>2\)
Für \(f'(x)>0\) kann also andererseits gelten:
\(\qquad 3x<0\qquad\) und \(\qquad x-2<0\)
Das heißt, dass für diesen Fall insgesamt gelten muss:\(\qquad x<0\)
Also ist die Funktion \(f\) streng monoton wachsend für \(x<0\) oder \(x>2\) und streng monoton fallend im Bereich \(0<x<2\).
Im Schaubild ist die Funktion in dem Bereich, in dem sie streng monoton fallend ist, gestrichelt dargestellt, und in den Bereichen, in denen sie monoton wachsend ist, durchgehend.
\(\enspace\)