Beispiele zur Monotonie Lokale Extrema
Definition:
Wir betrachten eine Funktion \(f: D \longrightarrow \mathbb R\) mit \(D \subseteq \mathbb{R}\) und eine Stelle \(x_0\in D\).
Die Funktion \(f\) hat ein lokales Maximum in \(x_0\), wenn es eine (kleine) Umgebung von \(x_0\) in \(D\) gibt, so dass für alle \(x\) aus dieser Umgebung \(f(x)\le f(x_0)\) gilt. Der entsprechende Kurvenpunkt heißt Hochpunkt.
Die Funktion \(f\) hat ein lokales Minimum in \(x_0\), wenn es eine (kleine) Umgebung von \(x_0\) in \(D\) gibt, so dass für alle \(x\) aus dieser Umgebung \(f(x)\ge f(x_0)\) gilt. Der entsprechende Kurvenpunkt heißt Tiefpunkt.
Die Funktion \(f\) hat ein lokales Extremum in \(x_0\), wenn sie dort entweder ein lokales Minimum oder ein lokales Maximum hat.
Beispiel:
Bei manchen Funktionen ist die Entscheidung einfach. Betrachten wir etwa die Parabel mit der Funktionsvorschrift
\(\qquad f(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1\)
so hat diese ihren Scheitel im Punkt \((1\,|\,{-1})\). Und für alle \(x\in\mathbb{R}\) gilt
\(\qquad f(x)\ge f(1)=-1\)
Die Funktion hat also in \(x_0=1\) ein Minimum. Und aus der Gestalt des Graphen sehen wir sofort, dass dort das einzige lokale Extremum von \(f\) ist.
Ziehen Sie in der Animation den dunkelblauen Punkt auf der Funktion in Richtung Scheitel \(S\). Sie erkennen dann, wie sich die Funktionswerte \(y_0\) dem Funktionswert \(-1\) von \(S\) annähern. Es gibt aber keinen Funktionswert, der kleiner ist als der Funktionswert von \(S\).
\(\enspace\)