Betrachten wir die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit

\(\qquad f(x)=\cos(x)+\dfrac{x}{2}\)

Im Schaubild sind einige lokale Maxima und Minima eingezeichnet. Es ist aber nicht offensichtlich, wie wir diese exakt bestimmen können.

Dieses Beispiel zeigt auch, dass lokale Extrema nicht die höchsten oder tiefsten Punkte des Graphen sein müssen. Lediglich in einer kleinen Umgebung der Punkte gibt es keine höheren oder tieferen Punkte.

Um Sonderfälle zu vermeiden, beschränken wir uns zunächst auf stetig differenzierbare Funktionen \(f:D\longrightarrow\mathbb{R}\), bei denen \(D\) ein offenes Intervall oder eine Vereinigung von offenen Intervallen ist.

Wir stellen folgende Vorüberlegungen an, die uns zu einem notwendigen Kriterium für ein lokales Extremum führen.

Ist eine Funktion \(f\) in einem offenen Intervall streng monoton steigend und ist \(x_0\) aus diesem Intervall, so kann \(f\) in \(x_0\) sicherlich kein lokales Extremum haben. Für alle \(x < x_0\) – egal wie nahe an \(x_0\) – ist nämlich \(f(x) < f(x_0)\). Und für alle \(x>x_0\) – egal wie nahe an \(x_0\) – ist \(f(x)> f(x_0)\).

Damit kann weder die Bedingung für ein lokales Maximum noch die für ein lokales Minimum erfüllt sein. Entsprechendes gilt auch, wenn \(f\) streng monoton fallend ist.

Da aber \(f\) dort streng monoton steigend ist, wo \(f'(x)>0\), und streng monoton fallend, wo \(f'(x)<0\), können wir unsere Überlegungen über lokale Extrema zusammenfassen.

Lokale Extrema von \(f\) können sich also nur bei Nullstellen von \(f'\) befinden. Geometrisch betrachtet bedeutet dies, dass der Graph von \(f\) an lokalen Extremstellen eine horizontale Tangente haben muss.

In der folgenden Animation kann der blaue Punkt auf der Funktion entlang des Funktionsgraphen verschoben werden. Zu diesem Punkt \((x_0\,|\,y_0)\) wird die Ableitung \(f'(x_0)\) angezeigt und die Tangente durch diesen Punkt. Nähert sich der Punkt einem Hoch- oder Tiefpunkt, dann wird diese Extremstelle in einer kleinen Umgebung mit "Maximum" bzw. "Minimum" bezeichnet. Die Tangente hat im Hoch- bzw. Tiefpunkt die Steigung \(0\).