Beispiele zu lokalen Extrema Erstes hinreichendes Kriterium für lokale Extrema
Die Regel zur Bestimmung der Monotonie kann auch helfen, um zu entscheiden, ob eine Nullstelle der Ableitung \(f'\) eine lokale Extremstelle der Funktion \(f\) ist.
Ist nämlich \(x_0\) eine Nullstelle von \(f'\), gilt also \(f'(x_0)=0\), und ist \(f\) unmittelbar vor \(x_0\) streng monoton steigend und unmittelbar nach \(x_0\) streng monoton fallend, so hat \(f\) ein lokales Maximum an der Stelle \(x_0\).
Gilt \(f'(x_0)=0\) und ist \(f\) unmittelbar vor \(x_0\) streng monoton fallend und unmittelbar nach \(x_0\) streng monoton steigend, so hat \(f\) ein lokales Minimum an der Stelle \(x_0\).
Falls \(f\) sowohl unmittelbar vor als auch unmittelbar nach \(x_0\) streng monoton steigend ist (oder streng monoton fallend), so kann \(f\) kein lokales Extremum an der Stelle \(x_0\) haben.
Wir erhalten das folgende hinreichende Kriterium für lokale Extrema:
Ist \(x_0 \in D\) eine Stelle mit \(f'(x_0)=0\) und gilt \(f'(x)>0\) unmittelbar vor \(x_0\) und \(f'(x)<0\) unmittelbar nach \(x_0\), so hat \(f\) in \(x_0\) ein lokales Maximum. Man sagt in diesem Fall, dass \(f'\) in \(x_0\) einen Vorzeichenwechsel von plus nach minus hat.
Ist \(x_0 \in D\) mit \(f'(x_0)=0\) und gilt \(f'(x)<0\) unmittelbar vor \(x_0\) und \(f'(x)>0\) unmittelbar nach \(x_0\), so hat \(f\) in \(x_0\) ein lokales Minimum. Man sagt in diesem Fall, dass \(f'\) in \(x_0\) einen Vorzeichenwechsel von minus nach plus hat.
Hat dagegen die Ableitung vor und nach \(x_0\) das gleiche Vorzeichen, so hat \(f\) in \(x_0\) kein lokales Extremum. In diesem Fall hat \(f'\) in \(x_0\) keinen Vorzeichenwechsel.
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