Erstes hinreichendes Kriterium für lokale Extrema Beispiele zum ersten hinreichenden Kriterium
Wir betrachten erneut die bereits diskutierten Beispiele, dieses Mal im Hinblick auf die Anwendung des ersten hinreichenden Kriteriums für lokale Extrema.
Beispiel:
Wir untersuchen die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=x^2-2x\) mit dem ersten hinreichenden Kriterium auf lokale Extrema.
Untersuchung auf lokale Extrema
Die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=x^2-2x\)
hat die Ableitung
\(\qquad f'(x)=2x-2\)
Wir haben bereits gesehen, dass \(f'(1)=0\). Außerdem ist \(f'(x)<0\) für \(x<1\) und \(f'(x)>0\) für \(x>1\). Daher hat \(f\) nach dem ersten hinreichenden Kriterium für lokale Extrema ein Minimum in \(x_0=1\).
Im Schaubild sind das lokale Minimum von \(f\) und die Nullstelle von \(f'\) gekennzeichnet.
Beispiel:
Wir untersuchen die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=\cos(x)+\frac{1}{2}\cdot x\) mit dem ersten hinreichenden Kriterium auf lokale Extrema.
Untersuchung auf lokale Extrema
Die Funktion\(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=\cos(x)+\dfrac{1}{2}\cdot x\)
hat die Ableitung
\(\qquad f'(x)=-\sin(x)+\dfrac{1}{2}\)
Wir wissen bereits, dass die Ableitung die folgenden Nullstellen aufweist:
\(\qquad a_k=\dfrac{\pi}{6}+2k\cdot \pi\qquad\) und \(\qquad b_k=\dfrac{5\pi}{6}+2k\cdot \pi\qquad\) mit \(k\in\mathbb{Z}\)
In diesem Fall gilt (für jedes \(k\)) für \(2k \cdot \pi<x<a_k\), dass \(0<\sin(x)<\frac{1}{2}\), also dass \(f'(x)>0\). Und es gilt für \(a_k<x<\frac{\pi}{2}+2k \cdot \pi\), dass \(\frac{1}{2}<\sin(x)<1\), also dass \(f'(x)<0\). Also hat \(f\) an allen Stellen \(a_k\) ein lokales Maximum.
Entsprechend gilt für \(\frac{\pi}{2}+2k \cdot \pi<x<b_k\), dass \(\frac{1}{2}<\sin(x)<1\), also dass \(f'(x)<0\). Und es gilt für \(b_k<x<\pi+2k \cdot \pi\), dass \(0<\sin(x)<\frac{1}{2}\), also dass \(f'(x)>0\). Also hat \(f\) an allen Stellen \(b_k\) ein lokales Minimum.
Im Schaubild sind die lokalen Minima und Maxima von \(f\) und die dazugehörigen Nullstellen von \(f'\) gekennzeichnet.
\(\enspace\)