Zweites hinreichendes Kriterium für lokale Extrema Beispiele zum zweiten hinreichenden Kriterium
Wir betrachten erneut die bereits diskutierten Beispiele, dieses Mal im Hinblick auf die Anwendung des zweiten hinreichenden Kriteriums für lokale Extrema.
Beispiel:
Wir untersuchen die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=x^2-2x\) mit dem zweiten hinreichenden Kriterium auf lokale Extrema.
Untersuchung auf lokale Extrema
Die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=x^2-2x\)
hat die ersten beiden Ableitungen
\(\qquad f'(x)=2x-2\)
\(\qquad f''(x)=2\)
Also ist \(f'(1)=0\) und \(f''(1)>0\) und damit hat \(f\) in \(x_0=1\) ein lokales Minimum.
Beispiel:
Wir untersuchen die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=\cos(x)+\frac{1}{2}\cdot x\) mit dem zweiten hinreichenden Kriterium auf lokale Extrema.
Untersuchung auf lokale Extrema
Die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=\cos(x)+\dfrac{1}{2}\cdot x\)
hat die ersten beiden Ableitungen
\(\qquad f'(x)=-\sin(x)+\dfrac{1}{2}\)
\(\qquad f'(x)=-\cos(x)\)
Wir wissen bereits, dass die Ableitung die folgenden Nullstellen aufweist:
\(\qquad a_k=\dfrac{\pi}{6}+2k\cdot \pi\qquad\) und \(\qquad b_k=\dfrac{5\pi}{6}+2k\cdot \pi\qquad\) mit \(k\in\mathbb{Z}\)
In diesem Fall gilt für jedes \(k\):
\(\qquad f''(a_k)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\right)=-\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}<0\)
\(\qquad f''(b_k)=-\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}+2k\pi\right)=-\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}>0\)
Also hat \(f\) in \(a_k\) ein lokales Maximum und in \(b_k\) ein lokales Minimum.
Die Entscheidung mithilfe des zweiten hinreichenden Kriteriums für lokale Extrema ist so wesentlich leichter zu fällen als mit dem ersten hinreichenden Kriterium.
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