Beispiele zum zweiten hinreichenden Kriterium Globale Extrema
Neben den lokalen Extrema gibt es auch globale Extrema. Ein globales Maximum ist hierbei der größte Funktionswert, den die Funktion in ihrem Definitionsbereich annehmen kann. Und ein globales Minimum ist hierbei der kleinste Funktionswert, den die Funktion in ihrem Definitionsbereich annimmt.
Definition:
Wir betrachten eine Funktion \(f: D \longrightarrow \mathbb R\) mit \(D \subseteq \mathbb{R}\) und eine Stelle \(x_0\in D\).
\(f(x_0)\) heißt globales Maximum von \(f\), falls für alle \(x\in D\) gilt: | \(\enspace f(x)\le f(x_0)\) |
\(f(x_0)\) heißt globales Minimum von \(f\), falls für alle \(x\in D\) gilt: | \(\enspace f(x)\ge f(x_0)\) |
Oft wird es sich bei einem globalen Extremum um ein lokales Extremum handeln. Bei Funktionen, deren Definitionsbereich Intervalle darstellen, kann ein globales Maximum bzw. Minimum aber auch am Rand liegen. Man muss in diesen Fällen also auch die Randpunkte überprüfen.
\(\,\)
Merke:
Globale Minima einer Funktion befinden sich entweder unter den lokalen Minima oder am Rand des Definitionsbereichs und globale Maxima einer Funktion befinden sich entweder unter den lokalen Maxima oder am Rand des Definitionsbereichs.
Auf einem abgeschlossenen Intervall hat jede differenzierbare Funktion ein globales Maximum und ein globales Minimum.
\(\enspace\)