Globale Extrema Beispiele zu globalen Extrema
Wir untersuchen nun Funktionen auf lokale und globale Extrema.
Beispiel:
Wir untersuchen die Funktion \(f:[1,4]\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=2x+3\) auf Extrema.
Untersuchung auf Extrema
Die Funktion \(f:[1,4]\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=2x+3\)
hat die ersten beiden Ableitungen
\(\qquad f'(x)=2\)
\(\qquad f''(x)=0\)
Da die Ableitung \(f'\) nicht \(0\) wird, erhält man mit den bisher betrachteten Kriterien keine Extremwerte. Es ist aber
\(\qquad f(1)=2\cdot 1+ 3=5\)
und damit \(f(1)\le f(x)\) für alle \(x\in[1,4]\), d.h. die Funktion hat ihr globales Minimum in \(x_0=1\).
Und es ist
\(\qquad f(4)=2\cdot 4+3=11\)
und damit \(f(4)\ge f(x)\) für alle \(x\in[1,4]\), d.h. die Funktion hat ihr globales Maximum in \(x_0=4\).
Beispiel:
Wir untersuchen die Funktion \(f:[-2.5;1.5]\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=x^3+3x^2-1\) auf Extrema.
Untersuchung auf Extrema
Die Funktion \(f:[-2.5;1.5]\longrightarrow \mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=x^3+3x^2-1\)
hat die ersten beiden Ableitungen
\(\qquad f'(x)=3x^2+6x=3x(x+2)\)
\(\qquad f''(x)=6x+6\)
Die Nullstellen von \(f'\) lauten \(x_1=0\) und \(x_2=-2\). Die Funktion hat ein lokales Minimum an der Stelle \(x_1=0\), da \(f''(0)=6>0\). Sie hat ein lokales Maximum an der Stelle \(x_2=-2\), da \(f''(-2)=-6<0\).
Am linken Rand des Definitionsbereichs hat die Funktion den Funktionswert \(f(-2.5)=2.125\). Sie hat dort kein globales Minimum, da es Funktionswerte im Definitionsbereich gibt mit einem kleineren Wert. Der Funktionswert an der Stelle \(x_1=0\) mit \(f(0)=-1\) ist z.B. ein kleinerer Funktionswert.
Am rechten Rand des Definitionsbereichs hat die Funktion den Funktionswert \(f(1.5)=9.125\). Sie hat dort ein globales Maximum, da es keinen größeren Funktionswert im Definitionsbereich gibt.
Die Funktion hat also die folgenden Extrema:
- ein lokales Minimum bei \(x=0\), das auch ein globales Minimum ist
- ein lokales Maximum bei \(x=-2\)
- ein globales Maximum bei \(x=3.5\)
\(\enspace\)