Beispiele zu globalen Extrema Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion \(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(\qquad f(x)=\dfrac{1}{1+x^2}\) Bestimmen Sie die Monotoniebereiche der Funktion. Erklärung Lösung: Die Funktion ist streng monoton steigend im Intervall \(]-\infty,0[\) und streng monoton fallend im Intervall \(]0,\infty[\). Schaubild  Im Schaubild ist die Funktion in dem Bereich, in dem sie streng monoton fallend ist, gestrichelt dargestellt, und in dem Bereich, in dem sie monoton wachsend ist, durchgehend. Erläuterung: Wir bilden die Ableitung der Funktion. Hierzu verwenden wir entweder die Quotientenregel und erhalten \(\qquad f'(x)=\dfrac{(1)'\cdot (1+x^2)-1\cdot (1+x^2)'}{(1+x^2)^2}\) \(=\dfrac{0\cdot (1+x^2)-1\cdot 2x}{(1+x^2)^2}\) \(=\dfrac{-2x}{(1+x^2)^2}\) oder wir formen \(f\) um in \(f(x)=(1+x^2)^{-1}\) und verwenden die Kettenregel \(\qquad f'(x)=-1\cdot (1+x^2)^{-1-1}\cdot (1+x^2)'\) \(=-(1+x^2)^{-2}\cdot 2x\) \(=\dfrac{-2x}{(1+x^2)^2}\) Es gilt \(\qquad f'(x)> 0\quad \) für \(\quad x<0\qquad\) und \(\qquad f'(x)< 0\quad \) für \(\quad x>0\) Die Funktion ist also streng monoton steigend im Intervall \(]-\infty,0[\) und streng monoton fallend im Intervall \(]0,\infty[\). |  |
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