Aufgabe 1 Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion \(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(\qquad f(x)=\dfrac{1}{3}\cdot x^3+\dfrac{1}{2}\cdot x^2-6x+2\) Bestimmen Sie die Hoch- und Tiefpunkte der Funktion. Erklärung Lösung: Der Tiefpunkt liegt bei \(T\left(2\,\Big|\,{-\dfrac{16}{3}}\right)\) und der Hochpunkt bei \(H({-3}\,|\,{15.5})\). Schaubild  Erläuterung: Wir bilden die ersten beiden Ableitungen der Funktion. \(\qquad f'(x)= x^2+ x-6\) \(\qquad f''(x)= 2x+ 1\) Die Nullstellen von \(f'\) sind \(x_1=2\) und \(x_2=-3\). Wir überprüfen für diese beiden Werte die zweite Ableitung: \(\qquad f''(2)=2\cdot 2+1=5\) \(\qquad f''(-3)=2\cdot (-3)+1=-5\) Die Funktion hat also in \(x_1=2\) ein lokales Minimum, da \(f''(2)>0\). Sie hat in \(x_2=-3\) ein lokales Maximum, da \(f''(-3)<0\). Um den Tief- und den Hochpunkt zu berechnen, benötigen wir die Funktionswerte an den Stellen \(x_1=2\) und \(x_2=-3\). \(\qquad f(2)=\dfrac{1}{3}\cdot 2^3+\dfrac{1}{2}\cdot 2^2-6\cdot 2+2\) \(=\dfrac{8}{3}+2-12+2=-\dfrac{16}{3}\) \(\qquad f(-3)=\dfrac{1}{3}\cdot (-3)^3+\dfrac{1}{2}\cdot (-3)^2-6\cdot (-3)+2\) \(=-9+\dfrac{9}{2}+18+2=15.5\) Wir erhalten also den Tiefpunkt \(T\left(2\,\Big|\,{-\dfrac{16}{3}}\right)\) und den Hochpunkt \(H({-3}\,|\,15.5)\). |  |
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