Aufgabe 2 Aufgabe 3
Gegeben ist die Funktion \(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(\qquad f(x)=x^2 e^{-x}\) Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion. Erklärung Lösung: Die Funktion hat in \(x_1=0\) ein lokales Minimum und in \(x_2=2\) ein lokales Maximum. Schaubild  Erläuterung: Wir bilden die ersten beiden Ableitungen der Funktion. \(\qquad f'(x)=(2x-x^2)e^{-x}\) \(\qquad f''(x)=(2-4x+x^2)e^{-x}\) Berechnen der 1. Ableitung Wir berechnen für \(f(x)=x^2e^{-x}\) die erste Ableitung mit der Produkt- und der Kettenregel. \(\qquad f'(x)=\overbrace{(x^2)'\cdot e^{-x}+x^2\cdot \underbrace{(e^{-x})'}_{\substack{\textsf{Ketten-} \\ \textsf{regel}}}}^{\textsf{Produktregel}}\) \(\qquad f'(x)=2x\cdot e^{-x}+x^2\cdot(-1)\cdot e^{-x}\) \(=2x\cdot e^{-x}-x^2\cdot e^{-x}\) \(=(2x-x^2) e^{-x}\) Berechnen der 2. Ableitung Wir leiten die Ableitung \(f'(x)=(2x-x^2)e^{-x}\) erneut mit der Produkt- und der Kettenregel ab und erhalten so die zweite Ableitung. \(\qquad f''(x)=\overbrace{(2x-x^2)'\cdot e^{-x}+(2x-x^2)\cdot \underbrace{(e^{-x})'}_{\substack{\textsf{Ketten-} \\ \textsf{regel}}}}^{\textsf{Produktregel}}\) \(\qquad f''(x)=(2-2x)\cdot e^{-x}+(2x-x^2)\cdot(-1)\cdot e^{-x}\) \(=(2-2x-2x+x^2)e^{-x}\) \(=(2-4x+x^2)e^{-x}\) Wir berechnen die Nullstellen der ersten Ableitung: \(\qquad (2x-x^2)e^{-x}=x(2-x)e^{-x}=0\) Wir wenden den Satz vom Nullprodukt an und erhalten die Nullstellen \(x_1=0\) und \(x_2=2\). Wir überprüfen für diese beiden Werte die zweite Ableitung: \(\qquad f''(0)=(2-4\cdot 0+0^2)e^{-0}\) \(=2\) \(\qquad f''(2)=(2-4\cdot 2+2^2)e^{-2}\) \(=(2-8+4)e^{-2}\) \(=-2e^{-2}\) Die Funktion hat also in \(x_1=0\) ein lokales Minimum, da \(f''(0)>0\). Sie hat in \(x_2=2\) ein lokales Maximum, da \(f''(2)<0\). |  |
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