Aufgabe 3 Krümmung
Wir haben nun gesehen, dass das Steigungsverhalten einer Funktion durch ihre erste Ableitung bestimmt wird. Für ein besseres Verständnis des Verhaltens der Funktion in der Nähe eines Punktes ist aber auch noch interessant, wie die Funktion dort gekrümmt ist.
Beispiel:
Im nachfolgenden Schaubild sehen wir zwei Funktionen, die beide durch den Punkt \(P\) gehen und dort beide die gleiche Tangente, d.h. die gleiche Steigung, haben. Die Funktionen haben aber ein unterschiedliches Krümmungsverhalten.
Während die Funktion \(f\) linksgekrümmt ist, ist die Funktion \(g\) rechtsgekrümmt.
Wir möchten dieses Krümmungsverhalten einer Funktion jetzt näher untersuchen und betrachten hierzu Funktionen \(f:D\longrightarrow \mathbb{R}\), die auf einem Intervall \(D\) definiert und dort zweimal stetig differenzierbar sind.
Definition:
Die Funktion \(f\) heißt rechtsgekrümmt oder konkav, wenn für je zwei Punkte \(P\) und \(Q\) auf dem Graphen von \(f\) die Verbindungslinie von \(P\) nach \(Q\) unterhalb des Funktionsgraphen liegt.
Die Funktion \(f\) heißt linksgekrümmt oder konvex, wenn für je zwei Punkte \(P\) und \(Q\) auf dem Graphen von \(f\) die Verbindungslinie von \(P\) nach \(Q\) oberhalb des Funktionsgraphen liegt.
Beispiel:
Die folgende Animation zeigt eine linksgekrümmte Funktion \(f\). Die Punkte \(P\) und \(Q\) auf \(f\) sind durch eine Verbindungslinie verbunden. Bewegt man den Schieberegler von \(t=0\) nach \(t=1\), so wandert ein Punkt auf der Verbindungslinie von \(P\) nach \(Q\). Hierbei sieht man, dass alle Punkte auf der Verbindungslinie oberhalb der Funktion liegen.
Bei einer linksgekrümmten Funktion kann man jetzt zwei beliebige Punkte \(P\) und \(Q\) wählen und die Verbindungslinie zwischen \(P\) und \(Q\) muss dann immer oberhalb der Funktion liegen.
Verbindungslinie von \(P\) nach \(Q\)
Die Verbindungslinie zwischen zwei Punkten \(P(a\,|\,f(a))\) und \(Q(b\,|\,f(b))\) einer Funktion \(f\) mit \(a<b\) können wir wie folgt darstellen:
\(\qquad y=(1-t)\cdot f(a)+t\cdot f(b)\qquad\) für alle \(t\in[0,1]\)
Ist \(t=0\), so ist \(y=f(a)\). Wir befinden uns in diesem Fall also im Punkt \(P\). Und ist \(t=1\), so ist \(y=f(b)\). Wir befinden uns in diesem Fall in Punkt \(Q\). Für alle anderen Punkte auf der Verbindungslinie dazwischen gilt \(0<t<1\).
Eine Rechtskrümmung von \(f\) liegt also dann vor, wenn für je zwei Punkte \(P(a\,|\,f(a))\) und \(Q(b\,|\,f(b))\) mit \(a<b\) gilt:
\(\qquad f((1-t)\cdot a+t\cdot b)\ge (1-t)f(a)+t\cdot f(b)\)
Eine Linkskrümmung von \(f\) liegt dann vor, wenn für je zwei Punkte \(P(a\,|\,f(a))\) und \(Q(b\,|\,f(b))\) mit \(a<b\) gilt:
\(\qquad f((1-t)\cdot a+t\cdot b)\le (1-t)f(a)+t\cdot f(b)\)
\(\enspace\)