Krümmungskriterium Beispiele zum Krümmungskriterium
Wir betrachten erneut die bereits bekannten Beispiele und untersuchen sie mit dem Krümmungskriterium.
Beispiel:
Wir untersuchen die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=\frac{1}{2}x^2\) auf ihr Krümmungsverhalten.
Krümmungsverhalten
Die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=\frac{1}{2}x^2\) hat die Ableitungen:
\(\qquad f'(x)=x\)
\(\qquad f''(x)=1\)
Also ist \(f''(x)>0\) für alle \(x\in\mathbb{R}\). Und damit ist die Funktion \(f\) linksgekrümmt.
Beispiel:
Wir untersuchen die natürliche Logarithmusfunktion \(f:\,]0,\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=\ln(x)\) auf ihr Krümmungsverhalten.
Krümmungsverhalten
Die natürliche Logarithmusfunktion \(f:\, ]0,\infty[\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=\ln(x)\) hat die Ableitungen:
\(\qquad f'(x)=\dfrac{1}{x}\)
\(\qquad f''(x)=-\dfrac{1}{x^2}\)
Also ist \(f''(x)<0\) für alle \(x\in\, ]0,\infty[\). Und damit ist die Funktion \(f\) rechtsgekrümmt.
Beispiel:
Wir untersuchen die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=\sin(x)\) auf ihr Krümmungsverhalten.
Krümmungsverhalten
Die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=\sin(x)\) hat die Ableitungen:
\(\qquad f'(x)=\cos(x)\)
\(\qquad f''(x)=-\sin(x)\)
Also ist \(f''(x)<0\) für alle \(x\in\,]2k\pi,2k\pi+\pi[\) mit \(k\in\mathbb{Z}\). Die Funktion \(f\) ist in diesen Intervallen rechtsgekrümmt.
Und es ist \(f''(x)>0\) für alle \(x\in\,]2k\pi+\pi,2k\pi+2\pi[\) mit \(k\in\mathbb{Z}\). Die Funktion \(f\) ist in diesen Intervallen linksgekrümmt.
Beispiel:
Wir untersuchen die kubische Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=x^3\)auf ihr Krümmungsverhalten.
Krümmungsverhalten
Die kubische Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=x^3\) hat die Ableitungen:
\(\qquad f'(x)=3x^2\)
\(\qquad f''(x)=6x\)
Damit ist \(f''(x)<0\) für \(x<0\). Die Funktion \(f\) ist also im Intervall \(]-\infty,0[\) rechtsgekrümmt.
Und es ist \(f''(x)>0\) für \(x>0\). Die Funktion \(f\) ist also im Intervall \(]0,\infty[\) linksgekrümmt.
\(\enspace\)