Wendepunktkriterium Beispiele zum Wendepunktkriterium
Wir werden nun verschiedene Funktionen auf ihre Wendepunkte untersuchen.
Beispiel:
Wir untersuchen die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=x^3\) auf ihre Wendepunkte.
Untersuchung auf Wendepunkte
Die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=x^3\) hat die folgenden Ableitungen:
\(\qquad f'(x)=3x^2\)
\(\qquad f''(x)=6x\)
\(\qquad f'''(x)=6\)
Die Stelle \(x_0=0\) ist die einzige Nullstelle von \(f''\) und somit der einzige Kandidat für eine Stelle, an der die Funktion einen Wendepunkt haben könnte. Wegen \(f'''(0)=6\ne 0\) ist \(W(0|0)\) nach dem Wendepunktkriterium ein Wendepunkt von \(f\).
Beispiel:
Wir untersuchen die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=x^5\) auf ihre Wendepunkte.
Untersuchung auf Wendepunkte
Die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=x^5\) hat die folgenden Ableitungen:
\(\qquad f'(x)=5x^4\)
\(\qquad f''(x)=20x^3\)
\(\qquad f'''(x)=60x^2\)
Die Stelle \(x_0=0\) ist die einzige Nullstelle von \(f''\) und somit der einzige Kandidat für eine Stelle, an der die Funktion einen Wendepunkt haben könnte. Wegen \(f'''(0)=0\) liefert das Wendepunktkriterium in diesem Fall keine Aussage darüber, ob die Funktion an dieser Stelle einen Wendepunkt hat.
Da aber \(f''(x)<0\) für \(x<0\) und \(f''(x)>0\) für \(x> 0\), wechselt also die Krümmung und die Funktion \(f\) hat einen Wendepunkt an der Stelle \(x_0=0\). Mit \(f(0)=0\) lautet der Wendepunkt \(W(0|0)\).
Beispiel:
Wir untersuchen die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=x^4\) auf ihre Wendepunkte.
Untersuchung auf Wendepunkte
Betrachten wir dagegen die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(f(x)=x^4\) mit ihren Ableitungen:
\(\qquad f'(x)=4x^3\)
\(\qquad f''(x)=12x^2\)
\(\qquad f'''(x)=24x\)
Die Stelle \(x_0=0\) ist die einzige Nullstelle von \(f''\) und somit der einzige Kandidat für eine Stelle, an der die Funktion einen Wendepunkt haben könnte. Wegen \(f'''(0)=0\) liefert das Wendepunktkriterium in diesem Fall keine Aussage darüber, ob die Funktion an dieser Stelle einen Wendepunkt hat.
Da aber \(f''(x)>0\) für \(x\ne 0\), wechselt \(f''\) nicht das Vorzeichen in \(x_0=0\). Daher hat \(f\) keinen Wendepunkt an der Stelle \(x_0=0\).
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