Beispiele zum Wendepunktkriterium Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion \(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(\qquad f(x)=2x^3+3x^2-12x+2\) Bestimmen Sie das Krümmungsverhalten der Funktion und berechnen Sie die Wendepunkte. Erklärung Lösung: Die Funktion \(f\) ist rechtsgekrümmt im Intervall \(]-\infty,-\frac{1}{2}[\) und linksgekrümmt im Intervall \(]-\frac{1}{2},\infty[\). Die Funktion hat den Wendepunkt \(W\left({-\frac{1}{2}}\,\Big|\,{\frac{17}{2}}\right)\). Schaubild  Erläuterung: Die Funktion \(f(x)=2x^3+3x^2-12x+2\) hat die folgenden Ableitungen: \(\qquad f'(x)=6x^2+6x-12\) \(\qquad f''(x)=12x+6\) \(\qquad f'''(x)=12\) Die zweite Ableitung \(f''\) wird \(0\) für \(x_0=\frac{1}{2}\). Es ist \(f''(x)<0\) für alle \(x<-\frac{1}{2}\). Und damit ist die Funktion \(f\) rechtsgekrümmt im Intervall \(]-\infty,-\frac{1}{2}[\). Es ist \(f''(x)>0\) für alle \(x>-\frac{1}{2}\). Und damit ist die Funktion \(f\) linksgekrümmt im Intervall \(]-\frac{1}{2},\infty[\). Also ist \(f''(-\frac{1}{2})=0\) und \(f'''(-\frac{1}{2})=12>0\). Der Wendepunkt liegt also an der Stelle \(x_0=-\frac{1}{2}\). Wir berechnen den Funktionswert an dieser Stelle und erhalten \(f(-\frac{1}{2})=\frac{17}{2}\). Die Funktion hat den Wendepunkt \(W\left({-\frac{1}{2}}\,\Big|\,{\frac{17}{2}}\right)\). |  |
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