Aufgabe 1 Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion \(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(\qquad f(x)=a^2x^3+2ax^2\qquad\) mit \(\qquad a\ne 0\) Wie muss der Parameter \(a\) gewählt werden, damit die Funktion \(f\) einen Wendepunkt bei \(x=2\) besitzt? Wie lautet der Wendepunkt? Erklärung Lösung: Der Parameter \(a\) muss \(-\frac{1}{3}\) sein, damit die Funktion einen Wendepunkt an der Stelle \(x=2\) hat. Die Funktion hat den Wendepunkt \(W\left(2\,\Big|\,{-\frac{16}{9}}\right)\). Schaubild  Erläuterung: Die Funktion \(f(x)=a^2x^3+2ax^2\) hat die folgenden Ableitungen: \(\qquad f'(x)=3a^2x^2+4ax\) \(\qquad f''(x)=6a^2x+4a\) \(\qquad f'''(x)=6a^2\) An der Stelle \(x=2\) soll die Funktion einen Wendepunkt besitzen. Die zweite Ableitung \(f''(2)\) muss deshalb \(0\) sein. \(\qquad f''(2)=6a^2\cdot 2+4a=12a^2+4a=4a(3a+1)=0\) Da \(a\ne 0\) laut Voraussetzung, bleibt nur der Wert \(a=-\frac{1}{3}\) zur Lösung der Gleichung übrig. Wir müssen nun noch überprüfen, ob \(f'''(2)\ne 0\) für \(a=-\frac{1}{3}\). \(\qquad f'''(2)=6a^2=6\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right)^2\) \(=\dfrac{6}{9}\) \(=\dfrac{2}{3}\ne 0\) Also ist für \(a=-\frac{1}{3}\) die zweite Ableitung \(f''(2)=0\) und die dritte Ableitung \(f'''(2)\ne 0\). Wir berechnen den Funktionswert an der Stelle \(x=2\) für \(a=-\frac{1}{3}\) und erhalten \(\qquad f(2)=a^2\cdot 2^3+2a\cdot 2^2\) \(=8a^2+8a\) \(=8\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2+8\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)\) \(=\dfrac{8}{9}-\dfrac{8}{3}\) \(=-\dfrac{16}{9}\) Die Funktion hat den Wendepunkt \(W\left(2\,\Big|\,{-\frac{16}{9}}\right)\). |  |
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