\(\qquad\)

Wir bilden die ersten beiden Ableitungen einer ganzrationalen Funktion zweiten Grades:

\(f(x)=ax^2+bx+c\qquad\) mit \(a\ne 0\), da ansonsten die Funktion nicht quadratisch wäre

\(f'(x)=2ax+b\)

\(f''(x)=2a\)

Voraussetzung für einen Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung \(f''(x)=2a\) den Wert \(0\) annimmt. Dies ist nicht möglich, da \(a\ne 0\). Die Funktion hat deshalb keinen Wendepunkt.

\(\qquad\)

Wir bilden die ersten drei Ableitungen einer ganzrationalen Funktion dritten Grades:

\(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\qquad\) mit \(a\ne 0\), da ansonsten die Funktion nicht kubisch wäre

\(f'(x)=3ax^2+2bx+x\)

\(f''(x)=6ax+2b\)

\(f'''(x)=6a\)

Voraussetzung für einen Wendepunkt ist, dass die zweite Ableitung \(f''\) den Wert \(0\) annimmt:

\(6ax+2b=0\)

\(x=\dfrac{-2b}{6a}=-\dfrac{b}{3a}\)

Da \(a\ne 0\), gibt es immer genau einen Kandidaten für eine mögliche Wendestelle. Wir müssen noch überprüfen, ob die dritte Ableitung \(f'''(x)=6a\) an der Wendestelle ungleich \(0\) ist. Da \(a\ne 0 \), ist die dritte Ableitung immer ungleich \(0\), und mit \(x=-\frac{b}{3a}\) ist die einzige Wendestelle der Funktion gefunden.