Einleitung in das Themengebiet Stammfunktion
Wir betrachten eine Funktion \(f:D\longrightarrow\mathbb{R}\) mit \(D\subseteq \mathbb{R}\).
Definition:
Eine Funktion \(F:D\longrightarrow\mathbb{R}\) mit \(D\subseteq \mathbb{R}\) heißt Stammfunktion von \(f\), wenn \(F\) differenzierbar ist und
\(\qquad F'(x)=f(x)\qquad\) für alle \(x\in D\)
Die Suche nach einer Stammfunktion ist in gewisser Weise die Umkehrung der Differentiation.
Beispiel:
Die Funktion
\(\qquad F(x)=\dfrac{1}{3}\cdot x^3\)
ist eine Stammfunktion der Funktion
\(\qquad f(x) = x^2\)
denn es gilt:
\(\qquad F'(x) =\left(\dfrac{1}{3}\cdot x^3\right)'\)
\(\phantom{\qquad F'(x) }=\dfrac{1}{3}\cdot 3\cdot x^{3-1}= x^2\)
Genauso ist aber auch
\(\qquad G(x) = \dfrac{1}{3}\cdot x^3 + 2\)
eine Stammfunktion von \(f(x)=x^2\).
Dies können wir wie folgt zusammenfassen:
Merke:
Ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\), so ist jede Funktion \(G\) der Form
\(\qquad G(x) = F(x) + c\)
mit einer Konstanten \(c\in\mathbb{R}\) ebenfalls eine Stammfunktion von \(f\).
Umgekehrt unterscheiden sich je zwei Stammfunktionen \(F\) und \(G\) einer Funktion \(f\) (auf einem Intervall) nur um eine Konstante \(c\), d.h.
\(\qquad F(x)- G(x) = c\qquad\) für alle \(x\in D\)
Beispiele:
\(F(x)=x\) | ist eine Stammfunktion von\(\enspace\) | \(f(x)=1\) | \(\enspace\)denn\(\enspace\) | \(F'(x)=1\) |
\(F(x)=x^2\) | ist eine Stammfunktion von | \(f(x)=2x\) | \(\enspace\)denn\(\enspace\) | \(F'(x)=2x\) |
\(F(x)=\sin(x)\) | ist eine Stammfunktion von | \(f(x)=\cos(x)\) | \(\enspace\)denn\(\enspace\) | \(F'(x)=\cos(x)\) |
\(F(x)=\frac{1}{2}\cdot\ln(1+x^2)\enspace\) | ist eine Stammfunktion von | \(f(x)=\frac{x}{1+x^2}\) | \(\enspace\)denn\(\enspace\) | \(F'(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1+x^2}\cdot 2x=\frac{x}{1+x^2}\) |
\(\enspace\)