Tabelle der Stammfunktionen wichtiger Funktionen Linearität
Bei der Ableitung haben wir eine Vielzahl an Ableitungsregeln kennengelernt. Bei der Faktorregel haben wir gesehen, dass konstante Faktoren beim Ableiten erhalten bleiben. Mit der Summenregel kann man aus der Ableitung einer Summe an Funktionen zur Summe der Ableitungen der Funktionen gelangen. Diese beiden Regeln – Faktorregel und Summenregel – gibt es ebenfalls bei der Integration. Wir fassen beide Regeln zu einer zusammen.
Da die Ableitung einer Summe die Summe der Ableitungen ist und ein konstanter Faktor bei der Ableitung erhalten bleibt, ergibt sich die Linearität des unbestimmten Integrals. Wir können also auch bei der Integration die Faktorregel und die Summenregel anwenden.
Linearität:
Seien \(f(x)\) und \(g(x)\) zwei stetige Funktionen mit den jeweiligen Stammfunktionen \(F(x)\) und \(G(x)\).
Dann gilt mit \(a,b\in\mathbb{R}\):
\(\qquad \displaystyle\int a\cdot f(x)\pm b\cdot g(x)\,dx=a \cdot F(x) \pm b\cdot G(x) + c\)
\(\qquad \phantom{\displaystyle\int a\cdot f(x)\pm b\cdot g(x)\,dx}=a\cdot \displaystyle\int f(x)\,dx\pm b\cdot \displaystyle\int g(x)\, dx + c\)
Beispiel:
Wir betrachten die Funktion \(f:[0,\infty[\longrightarrow\mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=2\sqrt{x}+e^{x}-2\sin(x)\)
und bestimmen eine mögliche Stammfunktion \(F(x)\):
\(\qquad F(x)\enspace\) | \(=\displaystyle\int f(x) \,dx =\displaystyle\int 2 \sqrt{x}+e^x-2\sin(x) \, dx\) |
\(=2\displaystyle\int \sqrt{x}\, dx+\displaystyle\int e^x\, dx-2\displaystyle\int \sin(x) \, dx\) | |
\(=2\cdot \dfrac{2}{3} \cdot \left(\sqrt{x}\right)^3+e^x-2\cdot (-\cos(x))\) | |
\(=\dfrac{4}{3} \cdot \left(\sqrt{x}\right)^3+e^x+2\cdot \cos(x)\) |
\(\enspace\)