Lineare Verkettung Integration von Exponentialfunktionen
Wir können die lineare Verkettung dazu benutzen, um Exponentialfunktionen zu integrieren.
Die Integration der natürlichen Exponentialfunktion \(e^x\) führt wieder zur natürlichen Exponentialfunktion. Dies ist aber bei Exponentialfunktionen mit der Basis \(a\) nicht mehr der Fall. Diese Funktionen lassen sich umformen – ähnlich wie wir es bei der Ableitung von Exponentialfunktionen gesehen haben – und mit der linearen Verkettung integrieren.
Wir betrachten eine stetige Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=a^x\qquad\) mit \(\quad a>0, a\ne 1\)
Dann gilt für \(c\in\mathbb{R}\):
\(\qquad \displaystyle\int a^x\, dx=\dfrac{1}{\ln(a)}\cdot a^x+c\)
Herleitung
Wir formen die Funktion \(f(x)=a^x\) um zu
\(\qquad f(x)=a^x=e^{\ln(a^x)}=e^{\ln(a)\cdot x}\)
Bei der Integration wenden wir die lineare Verkettung an und erhalten
\(\qquad \displaystyle\int a^x\,dx = \int e^{\ln(a)\cdot x}\,dx\) \(= \dfrac{1}{\ln(a)}\cdot e^{\ln(a)\cdot x}+c\) \(= \dfrac{1}{\ln(a)}\cdot a^x+c\)
Beispiel:
Wir betrachten die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) mit \(\qquad f(x)=2^x\) und bestimmen das unbestimmte Integral \(\displaystyle\int 2^x \, dx\): \(\qquad \displaystyle\int 2^x \, dx = \dfrac{1}{\ln(2)}\cdot 2^x+c\) | \(\qquad\) |  |
Beispiel:
Wir betrachten die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) mit \(\qquad f(x)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^x\) und bestimmen das unbestimmte Integral \(\displaystyle\int \left(\frac{1}{2}\right)^x\, dx\):
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\(\enspace\)