Integration von Exponentialfunktionen Partielle Integration
Es gibt bei der Integration keine Produktregel und auch keine Quotientenregel, um ein Produkt oder einen Quotienten aus zwei Funktionen geeignet zu integrieren. Hier muss man andere Wege suchen. Oft kann man sich mit der partiellen Integration helfen.
Partielle Integration:
Sind \(u,v:D\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(D\subseteq \mathbb{R}\) zwei differenzierbare Funktionen, so gilt:
\(\qquad \displaystyle\int u(x)\cdot v'(x) \, dx=u(x)\cdot v(x) - \displaystyle\int u'(x)\cdot v(x)\, dx\)
Herleitung
Die Herleitung dieser Regel folgt aus der Produktregel der Differentiation.
Wir leiten die Funktion \(f(x)=u(x)\cdot v(x)\) mit der Produktregel ab:
\(\qquad f'(x)=(u(x)\cdot v(x))'=u'(x)\cdot v(x)+u(x)\cdot v'(x)\)
Nun stellen wir die Gleichung um und erhalten
\(\qquad u(x)\cdot v'(x)=(u(x)\cdot v(x))'-u'(x)\cdot v(x)\)
Wir integrieren auf beiden Seiten. Dies führt zu
\(\qquad \displaystyle\int u(x)\cdot v'(x)\, dx=\displaystyle\int (u(x)\cdot v(x))' \, dx-\displaystyle\int u'(x)\cdot v(x)\, dx\)
Da \(\displaystyle\int (u(x)\cdot v(x))' \, dx = u(x)\cdot v(x)\) ist, können wir die Gleichung vereinfachen. Wir erhalten
\(\qquad \displaystyle\int u(x)\cdot v'(x)\, dx=u(x)\cdot v(x)-\displaystyle\int u'(x)\cdot v(x)\, dx\)
Bei der Berechnung eines Integrals \(\displaystyle\int f(x) \, dx\) mittels partieller Integration liegt die Schwierigkeit in der Zerlegung der zu integrierenden Funktion \(f(x)\) in ein Produkt aus zwei Funktionen \(u(x)\) und \(v'(x)\). Insbesondere \(v'(x)\) muss so gewählt werden, dass sich ohne Schwierigkeiten eine Stammfunktion \(v(x)\) finden lässt.
Beispiel:
Wir betrachten die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=x\cdot\cos(x)\)
und bestimmen das Integral \(\displaystyle\int f(x) \, dx\).
Wir setzen:
\(\qquad\) | \(u(x)=x\quad\) \(v'(x)=\cos(x)\quad\) | und damit\(\quad\) und damit\(\quad\) | \(u'(x)=1\) \(v(x)=\sin(x)\) |
Wir berechnen das Integral mit partieller Integration:
\(\qquad\displaystyle\int u(x)\cdot v'(x)\, dx\ \) \(=\overbrace{u(x)}^{x}\cdot \overbrace{v(x)}^{\sin(x)}-\displaystyle\int \overbrace{u'(x)}^{1}\cdot \overbrace{v(x)}^{\sin(x)}\, dx\)
\(\qquad\) | \(\displaystyle\int x\cdot \cos(x)\, dx\quad\) | \(=x\cdot \sin(x)-\displaystyle\int 1 \cdot \sin(x)\, dx\) \(= x\cdot \sin(x)-(-\cos(x))\) \(= x\cdot \sin(x)+\cos(x)\) |
\(\enspace\)