Partielle Integration Beispiele zur partiellen Integration
Es ist nicht immer einfach zu entscheiden, welche der beiden Faktorfunktionen man als \(u(x)\) und welche man als \(v'(x)\) wählen soll. Bei der falschen Wahl kann es durchaus vorkommen, dass man scheitert, und das Integral nicht berechnen kann.
Es ist aber auch möglich, dass weder die eine Möglichkeit, noch die andere Möglichkeit zum Ziel führen. Dann ist die partielle Integration nicht die geeignete Wahl zur Berechnung des Integrals und man muss eine andere Methode wählen.
In einigen Fällen muss man die partielle Integration mehrmals nacheinander anwenden, ehe man das Ausgangsintegral berechnen kann.
Wir werden nun verschiedene Beispiele zur partiellen Integration angeben und jeweils auf die Besonderheit bei der Berechnung eingehen.
Beispiel:
Wir betrachten die Funktion \(f:\, ]0,\infty[\longrightarrow\mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=\ln(x)\)
Die Besonderheit an diesem Beispiel ist, dass die Ausgangsfunktion kein Produkt aus zwei Funktionen darstellt. Wir formen sie deshalb um zu
\(\qquad f(x)=\ln(x) \cdot 1\)
und berechnen das Integral \(\displaystyle\int \ln(x)\cdot 1 \,dx\).
Als Ergebnis erhalten wir:
\(\qquad \displaystyle\int \ln(x) \, dx=x \cdot \ln(x)-x\)
Berechnung des Integrals
Wir setzen:
\(\qquad\) | \(u(x)=\ln(x)\quad\) \(v'(x)=1\quad\) | und damit\(\quad\) und damit\(\quad\) | \(u'(x)=\frac{1}{x}\) \(v(x)=x\) |
Wir berechnen das Integral mit partieller Integration:
\(\qquad\displaystyle\int u(x)\cdot v'(x)\, dx\ \) \(=\overbrace{u(x)}^{\ln(x)}\cdot \overbrace{v(x)}^{x}-\displaystyle\int \overbrace{u'(x)}^{\frac{1}{x}}\cdot \overbrace{v(x)}^{x}\, dx\)
\(\qquad\) | \(\displaystyle\int \ln(x)\cdot 1\, dx\enspace\) | \(=\ln(x)\cdot x-\displaystyle\int \frac{1}{x} \cdot x\, dx\) \(=x \cdot \ln(x)-\displaystyle\int 1\, dx\) \(=x \cdot \ln(x)-x\) |
Beispiel:
Wir betrachten die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=x\cdot e^x\)
Um zu zeigen, dass die Art der Zerlegung des Integranden entscheidend ist, werden wir hier zwei Möglichkeiten zur Berechnung des Integrals angeben. Die eine Möglichkeit führt zum Ziel und liefert als Ergebnis das gesuchte Integral.
\(\qquad \displaystyle\int x\cdot e^x \, dx=x \cdot e^x-e^x\)
Die andere Möglichkeit scheitert und führt zu einem Integral, das noch komplizierter aufgebaut ist.
Berechnung des Integrals
Wir setzen:
\(\qquad\) | \(u(x)=x\quad\) \(v'(x)=e^x\quad\) | und damit\(\quad\) und damit\(\quad\) | \(u'(x)=1\) \(v(x)=e^x\) |
Wir berechnen das Integral mit partieller Integration:
\(\qquad\displaystyle\int u(x)\cdot v'(x)\, dx\ \) \(=\overbrace{u(x)}^{x}\cdot \overbrace{v(x)}^{e^x}-\displaystyle\int \overbrace{u'(x)}^{1}\cdot \overbrace{v(x)}^{e^x}\, dx\)
\(\qquad\) | \(\displaystyle\int x\cdot e^x\, dx\enspace\) | \(=x\cdot e^x-\displaystyle\int 1 \cdot e^x\, dx\) \(=x\cdot e^x-\displaystyle\int e^x\, dx\) \(=x\cdot e^x- e^x\) |
Scheitern der Berechnung des Integrals
Wir setzen:
\(\qquad\) | \(u(x)=e^x\quad\) \(v'(x)=x\quad\) | und damit\(\quad\) und damit\(\quad\) | \(u'(x)=e^x\) \(v(x)=\frac{x^2}{2}\) |
Wir berechnen das Integral mit partieller Integration:
\(\qquad\displaystyle\int u(x)\cdot v'(x)\, dx\ \) \(=\overbrace{u(x)}^{e^x}\cdot \overbrace{v(x)}^{\frac{x^2}{2}}-\displaystyle\int \overbrace{u'(x)}^{e^x}\cdot \overbrace{v(x)}^{\frac{x^2}{2}}\, dx\)
\(\qquad\) | \(\displaystyle\int x\cdot e^x\, dx\enspace\) | \(=e^x \cdot \frac{x^2}{2}-\underbrace{\displaystyle\int e^x \cdot \frac{x^2}{2}\, dx}_{\substack {\textsf{komplizierter als} \\ \textsf{das Ausgangsintegral}}}\) |
Da das Teilintegral einen noch komplizierteren Aufbau als das gesuchte Ausgangsintegral hat, kommen wir mit dieser Wahl der Faktorfunktionen bei der partiellen Integration nicht zum Ziel.
Beispiel:
Wir betrachten die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=x^2\cdot \cos(x)\)
Zur Berechnung des Integrals müssen wir die partielle Integration zweimal anwenden. Das nach der ersten partiellen Integration auftretende Teilintegral ist zwar einfacher aufgebaut als das Ausgangsintegral, lässt sich aber noch nicht sofort bestimmen. Dieses Teilintegral muss dann erneut mit partieller Integration berechnet werden.
Als Ergebnis erhalten wir:
\(\qquad \displaystyle\int x^2 \cdot \cos(x) \, dx=x^2 \cdot \sin(x) + 2x \cdot \cos(x)-2\cdot \sin(x)\)
Berechnung des Integrals
Wir setzen:
\(\qquad\) | \(u(x)=x^2\quad\) \(v'(x)=\cos(x)\quad\) | und damit\(\quad\) und damit\(\quad\) | \(u'(x)=2x\) \(v(x)=\sin(x)\) |
Wir berechnen das Integral mit partieller Integration:
\(\qquad\displaystyle\int u(x)\cdot v'(x)\, dx\ \) \(=\overbrace{u(x)}^{x^2}\cdot \overbrace{v(x)}^{\sin(x)}-\displaystyle\int \overbrace{u'(x)}^{2x}\cdot \overbrace{v(x)}^{\sin(x)}\, dx\)
\(\qquad\) | \(\displaystyle\int x^2\cdot \cos(x)\, dx\enspace\) | \(=x^2\cdot \sin(x)-\displaystyle\int 2x \cdot \sin(x)\, dx\) \(=x^2\cdot \sin(x)-2\underbrace{\displaystyle\int x \cdot \sin(x)\, dx}_{\textsf{Teilintegral}}\) |
Berechnung des Teilintegrals
Wir berechnen das Teilintegral \(\int x\cdot \sin(x)\, dx\) mit partieller Integration und setzen:
\(\qquad\) | \(u(x)=x\quad\) \(v'(x)=\sin(x)\quad\) | und damit\(\quad\) und damit\(\quad\) | \(u'(x)=1\) \(v(x)=-\cos(x)\) |
Wir berechnen das Teilintegral mit partieller Integration:
\(\qquad\displaystyle\int u(x)\cdot v'(x)\, dx\ \) \(=\overbrace{u(x)}^{x}\cdot \overbrace{v(x)}^{-\cos(x)}-\displaystyle\int \overbrace{u'(x)}^{1}\cdot \overbrace{v(x)}^{-\cos(x)}\, dx\)
\(\qquad\) | \(\displaystyle\int x\cdot \sin(x)\, dx\enspace\) | \(=x\cdot (-\cos(x))-\displaystyle\int 1 \cdot (-\cos(x))\, dx\) \(=-x\cdot \cos(x)+\displaystyle\int \cos(x)\, dx\) \(=-x\cdot \cos(x)+\sin(x)\) |
Wir setzen das Ergebnis der Berechnung des Teilintegrals ein und erhalten:
\(\qquad\) | \(\displaystyle\int x^2\cdot \cos(x)\, dx\enspace\) | \(=x^2\cdot \sin(x)-2\underbrace{\displaystyle\int x \cdot \sin(x)\, dx}_{\textsf{Teilintegral}}\) \(=x^2\cdot \sin(x)-2\underbrace{\displaystyle\int x \cdot \sin(x)\, dx}_{-x\cdot \cos(x)+\sin(x)}\) \(=x^2\cdot \sin(x)-2(-x\cdot \cos(x)+\sin(x))\) \(=x^2\cdot \sin(x)+2x\cdot \cos(x)-2\cdot \sin(x)\) |
Beispiel:
Wir betrachten die Funktion \(f:\, \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=\cos^2(x)\)
Die Besonderheit an diesem Beispiel ist, dass das Ausgangsintegral bei der partiellen Integration erneut auch als Teilintegral auftritt. Es kann so mit dem Ausgangsintegral zusammengefasst werden.
Als Ergebnis erhalten wir:
\(\qquad \displaystyle\int \cos^2(x) \, dx=\dfrac{1}{2}\cdot x+\dfrac{1}{2}\cdot \cos(x)\cdot \sin(x)\)
Berechnung des Integrals
Wir setzen:
\(\qquad\) | \(u(x)=\cos(x)\quad\) \(v'(x)=\cos(x)\quad\) | und damit\(\quad\) und damit\(\quad\) | \(u'(x)=-\sin(x)\) \(v(x)=\sin(x)\) |
Wir berechnen das Integral mit partieller Integration und mithilfe des trigonometrischen Pythagoras:
\(\qquad\displaystyle\int u(x)\cdot v'(x)\, dx\ \) \(=\overbrace{u(x)}^{\cos(x)}\cdot \overbrace{v(x)}^{\sin(x)}-\displaystyle\int \overbrace{u'(x)}^{-\sin(x)}\cdot \overbrace{v(x)}^{\sin(x)}\, dx\)
\(\qquad\) | \(\displaystyle\int \cos(x)\cdot \cos(x)\, dx\enspace\) | \(=\cos(x)\cdot \sin(x)-\displaystyle\int(-\sin(x) \cdot \sin(x))\, dx\) \(=\cos(x)\cdot \sin(x)+\displaystyle\int \sin^2(x) \, dx\) \(=\cos(x)\cdot \sin(x)+\displaystyle\int 1-\cos^2(x) \, dx\) \(=\cos(x)\cdot \sin(x)+\displaystyle\int 1 \, dx-\displaystyle\int \cos^2(x) \, dx\) \(=\cos(x)\cdot \sin(x)+x-\displaystyle\int \cos^2(x) \, dx\) |
Wir erhalten so eine Gleichung, in der auf beiden Seiten das gleiche Integral steht:
\(\qquad\displaystyle\int \cos^2(x)\, dx =\cos(x)\cdot \sin(x)+x-\displaystyle\int \cos^2(x) \, dx\)
Wir bringen jetzt das Integral der rechten Seite auf die linke Seite der Gleichung:
\(\qquad\displaystyle\int \cos^2(x)\, dx+\displaystyle\int \cos^2(x) \, dx=\cos(x)\cdot \sin(x)+x\)
Wir fassen die linke Seite der Gleichung zusammen:
\(\qquad2\displaystyle\int \cos^2(x)\, dx=\cos(x)\cdot \sin(x)+x\)
Nun dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch \(2\):
\(\qquad\displaystyle\int \cos^2(x)\, dx=\dfrac{1}{2}\cdot \cos(x)\cdot \sin(x)+\dfrac{1}{2}\cdot x\)
Wir haben so das gesuchte Integral gefunden.
\(\enspace\)