Beispiele zur partiellen Integration Aufgabe 1
Gegeben ist die Funktion \(f: \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}\) mit \(\qquad f(x)=4x^3+3x^2+3\) \(F\) sei eine Stammfunktion von \(f\). Das Schaubild von \(F\) verläuft durch den Punkt \(P(1\,|\,4)\). Bestimmen Sie \(F(x)\). Erklärung Lösung: \(\qquad F(x)=x^4+x^3+3x-1\) Schaubild  Erläuterung: Wir bilden eine Stammfunktion \(F\) von \(f\): \(\qquad F(x)=\int f(x) \, dx = 4\cdot \dfrac{1}{4}\cdot x^4 + 3\cdot \dfrac{1}{3}\cdot x^3+3 \cdot x+c\) \(\qquad F(x)=x^4+x^3+3x+c\) Der Punkt \(P(1|4)\) soll auf dem Graph von \(F\) liegen. Es muss deshalb gelten: \(\qquad F(1)=1^4+1^3+3\cdot 1+c =5+c=4\) Wir lösen nach \(c\) auf und erhalten: \(\qquad c=-1\) Die gesuchte Stammfunktion lautet also: \(\qquad F(x)=x^4+x^3+3x-1\) |  |
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