Lernmodul: Integrale und Flächen

Funktionen

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Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion \(f:\,]0,\infty[\longrightarrow\mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=x \ln(x)\)
Bestimmen Sie \(\displaystyle\int f(x) \, dx\) mit partieller Integration.
Lösung:
\(\qquad \displaystyle\int x \ln(x)\, dx=\dfrac{1}{2}\cdot x^2\ln(x)-\dfrac{1}{4}\cdot x^2+c\)
Erläuterung:
Die partielle Integration wird angewendet, wenn der Integrand aus einem Produkt zweier Funktionen besteht.
Partielle Integration:\(\qquad \displaystyle\int u(x)\cdot v'(x) \, dx = u(x)\cdot v(x) - \displaystyle\int u'(x)\cdot v(x) \, dx\)
Es gibt bei dieser Funktion zwei Möglichkeiten, die partielle Integration anzuwenden. Beide Möglichkeiten führen zur Lösung:
1. Möglichkeit:
\(\qquad\)
\(u(x)=x\qquad\)
\(v'(x)=\ln(x)\qquad\)
\(u'(x)=1\)
\(v(x)=x\ln(x)-x\)
\(\qquad\)
Wir wenden partielle Integration an:
\(\qquad \displaystyle\int x \ln(x) \, dx\enspace\) \(= \overbrace{x}^{u(x)}\cdot \overbrace {(x\ln(x)-x)}^{v(x)}-\displaystyle\int \overbrace {1}^{u'(x)}\cdot \overbrace {(x\ln(x)-x)}^{v(x)}\, dx\)
\(\phantom{\qquad \int x \cdot \ln(x) \, dx} \) \(=x^2\ln(x)-x^2-\displaystyle\int x\ln(x)-x\, dx\)
Wir schreiben anstelle des Integrals über einer Differenz eine Differenz zweier Integrale:
\(\qquad \int x \cdot \ln(x) \, dx \) \(=x^2\ln(x)-x^2-\left(\displaystyle\int x\ln(x)\, dx-\displaystyle\int x\, dx\right)\)
Nun lösen wir die Klammer auf und berechnen \(\displaystyle\int x\,dx\):
\(\qquad \displaystyle\int x \cdot \ln(x) \, dx \) \(=x^2\ln(x)-x^2-\displaystyle\int x\ln(x)\, dx+\displaystyle\int x\, dx\)
\(\phantom{\qquad \displaystyle\int x \cdot \ln(x) \, dx} \) \(=x^2\ln(x)-x^2-\displaystyle\int x\ln(x)\, dx+\dfrac{1}{2}\cdot x^2\)
\(\phantom{\qquad \displaystyle\int x \cdot \ln(x) \, dx} \) \(=x^2\ln(x)-\dfrac{1}{2}\cdot x^2-\displaystyle\int x\ln(x)\, dx\)
Wir bringen das Integral von der rechten Seite auf die linke Seite und vereinfachen die Gleichung:
\(\qquad \displaystyle\int x \cdot \ln(x) \, dx+\displaystyle\int x\ln(x)\, dx \) \(=x^2\ln(x)-\dfrac{1}{2}\cdot x^2\)
Hierzu fassen wir die Integrale der linken Seite zusammen:
\(\qquad 2\displaystyle\int x \cdot \ln(x) \, dx \) \(=x^2\ln(x)-\dfrac{1}{2}\cdot x^2\)
Abschließend dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch \(2\):
\(\qquad \displaystyle\int x \cdot \ln(x) \, dx \) \(=\dfrac{1}{2}\cdot x^2\ln(x)-\dfrac{1}{4}\cdot x^2\)
\(\qquad\)Wir erhalten das folgende Integral:
\(\qquad \displaystyle\int x \cdot \ln(x) \, dx \) \(=\dfrac{1}{2}\cdot x^2\ln(x)-\dfrac{1}{4}\cdot x^2+c\)
2. Möglichkeit:
\(\qquad\)
\(u(x)=\ln(x)\qquad\)
\(v'(x)=x\qquad\)
\(u'(x)=\frac{1}{x}\)
\(v(x)=\frac{1}{2}\cdot x^2\)
\(\qquad\)
Wir wenden partielle Integration an:
\(\qquad \displaystyle\int x \ln(x) \, dx\enspace \) \(= \overbrace{\ln(x)}^{u(x)}\cdot \overbrace {\dfrac{1}{2}\cdot x^2}^{v(x)}-\displaystyle\int \overbrace {\dfrac{1}{x}}^{u'(x)}\cdot \overbrace {\dfrac{1}{2}\cdot x^2}^{v(x)}\, dx\)
\(\phantom{\qquad \int x \cdot \ln(x) \, dx} \) \(=\dfrac{1}{2}\cdot x^2\ln(x)-\displaystyle\int \dfrac{1}{2}\cdot x\, dx\)
\(\phantom{\qquad \int x \cdot \ln(x) \, dx} \) \(=\dfrac{1}{2}\cdot x^2\ln(x)-\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{1}{2}\cdot x^2\)
\(\phantom{\qquad \int x \cdot \ln(x) \, dx} \) \(=\dfrac{1}{2}\cdot x^2\ln(x)-\dfrac{1}{4}\cdot x^2\)
\(\qquad\)Wir erhalten das folgende Integral:
\(\qquad\displaystyle\int x \cdot \ln(x) \, dx \) \(=\dfrac{1}{2}\cdot x^2\ln(x)-\dfrac{1}{4}\cdot x^2+c\)
\(\enspace\)
 Quellen 
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