Wir möchten den Flächeninhalt zwischen einer Kurve und der \(x\)-Achse berechnen. Als Beispiel betrachten wir das folgende Schaubild:

Um den zu ermittelnden Flächeninhalt \(A\) abzuschätzen, füllen wir die Fläche unterhalb des Graphen zunächst so weit wie möglich mit Rechtecken aus, von denen wir die Fläche einfach berechnen können. Wie verwenden Rechtecke konstanter Breite, die wir so hoch wählen, dass sie den Funktionsgraphen gerade noch berühren, aber kein Punkt davon oberhalb liegt:

Die Höhe des Rechtecks über jedem Streifen ist also gerade der kleinste Wert, den die Funktion über diesen Streifen annimmt. Die Rechtecksflächen lassen sich einfach berechnen über die Multiplikation von Breite und Höhe.

Die Summe dieser Rechtecksflächen ist zwar nicht die gesuchte Fläche, liefert aber eine untere Abschätzung für deren Wert. Eine Zerlegung des Intervalls in \(n\) Streifen bezeichnen wir mit \(\Delta_n\) und die Summe der Rechtecksinhalte, die wir so erhalten, mit \(U(\Delta_n)\) (wobei \(U\) für "Untersumme" steht, da wir immer unterhalb des Graphen bleiben).

Analog können wir die Rechteckshöhen aber auch so wählen, dass die Rechtecke den Graphen gerade überdecken, d.h. dass die Höhe der Rechtecke über jedem Streifen gerade der größte Wert ist, den die Funktion über diesem Streifen annimmt:

Die Summe dieser Rechtecksflächen bezeichnen wir mit \(O(\Delta_n)\) (wobei \(O\) für "Obersumme" steht, da wir immer oberhalb des Graphen bleiben). Sie liefert eine obere Abschätzung für die gesuchte Fläche \(A\). Es gilt

\(U(\Delta_n)\le  A \le O(\Delta_n)\)

Die beiden Werte \(U(\Delta_n)\) und \(O(\Delta_n)\) weichen hier noch (deutlich) von dem gesuchten Wert \(A\) ab. Die Hoffnung ist jedoch, dass die beiden Werte einander (und damit auch dem dazwischenliegenden Wert \(A\)) zusehends näher kommen, wenn wir die Breite der Rechtecksstreifen immer kleiner machen.

Mit \(n\) bezeichnen wir die Unterteilung von \([a, b]\) in \(n\) gleich breite Streifen. Im obigen Beispiel ist \(n=4\). Wir werden nun die Anzahl \(n\) erhöhen und so zu einer besseren Annäherung an \(A\) durch die Ober- und Untersumme kommen.