Fläche unter der Kurve Definition des bestimmten Integrals
Um die Fläche unter der Kurve exakt berechnen zu können, machen wir die Anzahl der Streifen immer größer, d.h. wir lassen \(n\) gegen unendlich gehen. Das führt uns zum Begriff des bestimmten Integrals:
Definition:
Eine Funktion \(f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\) heißt integrierbar, wenn die Grenzwerte der Untersumme und der Obersumme
\(\qquad \lim\limits_{n\to \infty}U(\Delta_n)\qquad\) und \(\qquad \lim\limits_{n\to \infty}O(\Delta_n)\qquad\)
existieren und den gleichen Wert annehmen. In diesem Fall heißt
\(\qquad \displaystyle\int\limits_a^b f(x) \, dx= \lim\limits_{n\to \infty}U(\Delta_n)= \lim\limits_{n\to \infty}O(\Delta_n)\)
das bestimmte Integral über \(f\) von \(a\) bis \(b\).
Die reellen Zahlen \(a\) und \(b\) heißen Integrationsgrenzen.
Es gibt Beispiele von Funktionen, bei denen diese Grenzwerte nicht existieren oder existieren, aber nicht übereinstimmen. Für die in den Anwendungen gebräuchlichen Funktionen existieren aber die Grenzwerte und stimmen überein. Wir können festhalten:
Satz:
Ist \(f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\) eine Funktion, die nur endlich viele Sprungstellen hat und sonst überall stetig ist, so existiert das bestimmte Integral \(\displaystyle\int\limits_a^b f(x) \, dx\) über \(f\) von \(a\) bis \(b\).
\(\enspace\)