Definition des bestimmten Integrals Beispiel zur Berechnung der Ober- und Untersumme
Wir wollen als Beispiel
\(\qquad \displaystyle\int\limits_1^2 x^2 \, dx\)
mithilfe der Ober- und Untersumme berechnen. Hierzu zerteilen wir das Intervall \([1,2]\) zuerst in zwei Streifen. Jeder Streifen hat dann die Breite \(\frac{1}{2}\).
Da die Funktion streng monoton steigend im betrachteten Intervall ist, ist für die Untersumme jeweils der Funktionswert am linken Rand eines Streifens maßgebend. Der linke Streifen hat also die Höhe \(f(1)=1^2=1\). Der rechte Streifen hat die Höhe \(f\left(\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\). Wir erhalten also die folgende Untersumme
\(\qquad U(\Delta_2)=\overbrace{U_1}^{\textsf{linker Streifen}}+\overbrace{U_2}^{\textsf{rechter Streifen}}\)
\(\qquad \phantom{U(\Delta_2)}=\overbrace{\dfrac{1}{2}\cdot 1}^{\textsf{linker Streifen}}+\overbrace{\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{9}{4}}^{\textsf{rechter Streifen}}=\dfrac{13}{8}=1.625\)
Für die Obersumme ist jeweils der Funktionswert am rechten Rand eines Streifens maßgebend. Der linke Streifen hat also die Höhe \(f\left(\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}\). Der rechte Streifen hat die Höhe \(f(2)=2^2=4\). Wir erhalten also die folgende Obersumme
\(\qquad O(\Delta_2)=\overbrace{O_1}^{\textsf{linker Streifen}}+\overbrace{O_2}^{\textsf{rechter Streifen}}\)
\(\qquad \phantom{O(\Delta_2)}=\overbrace{\dfrac{1}{2}\cdot \dfrac{9}{4}}^{\textsf{linker Streifen}}+\overbrace{\dfrac{1}{2}\cdot 4}^{\textsf{rechterStreifen}}=\dfrac{25}{8}=3.125\)
In der folgenden Animation ist die Anzahl der Rechtecke auf \(n=2\) voreingestellt. Zur Verdeutlichung der Annäherung an den Grenzwert kann auch hier der Schieberegler bis auf \(n=100\) verschoben werden.
Wir verfeinern jetzt die Breite der Streifen, indem wir die Anzahl \(n\) der Streifen erhöhen. Dazu bezeichnen wir mit \(\Delta_n\) die Zerlegung von \([1, 2]\) in \(n\) Streifen der Breite \(\frac{1}{n}\).
Wir konzentrieren uns zuerst auf die Berechnung der Untersumme \(U(\Delta_n)\):
\(\qquad U(\Delta_n)=U_1+U_2+\ldots +U_{n}\)
Für die Höhe der Streifen der Untersumme ist jeweils der Funktionswert am linken Rand eines Streifens maßgebend. Bei den Untersummen hat das Rechteck über dem Streifen von \(1+\frac{k-1}{n}\) bis \(1+\frac{k}{n}\) die Breite \(\frac{1}{n}\) und die Höhe \(f\left(1+\frac{k-1}{n}\right)\). Ein Rechteck \(U_k\) mit \(k=\{1,2,\ldots,n\}\) hat also folgenden Flächeninhalt:
\(\qquad U_k=\overbrace{\dfrac{1}{n}}^{\textsf{Breite}}\cdot \overbrace{\left(1+ \dfrac{k-1}{n}\right)^2}^{\textsf{H}\ddot{\textsf{o}}\textsf{he}}\)
\(\qquad\phantom{U_k}=\dfrac{1}{n}\cdot \left(1+2\cdot \dfrac{k-1}{n}+\dfrac{(k-1)^2}{n^2}\right)\)
\(\qquad \phantom{U_k}=\dfrac{1}{n}+2\cdot \dfrac{k-1}{n^2}+\dfrac{(k-1)^2}{n^3}\)
Wir müssen nun die folgende Summe bilden:
\(\qquad U(\Delta_n)\enspace\) | \(=U_1+U_2+\ldots +U_{n}\) |
Berechnung von \(U(\Delta_n)\)
Zur Berechnung der Untersumme benutzen wir die beiden folgenden Summenformeln:
\(\qquad \sum \limits_{k=1}^n{k} = 1+2+3+4+\ldots + n= \dfrac{n(n+1)}{2}\)
\(\qquad \sum \limits_{k=1}^n{k^2} = 1+4+9+16+\ldots + n^2= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Wir formen die Untersumme \(U(\Delta_n)\) um und wenden Rechenregeln für Summen an:
\(\qquad U(\Delta_n)\phantom{\dfrac{A}{A}}\) | \(=\sum\limits_{k=1}^{n} U_k\) |
\(=\sum\limits_{k=1}^{n} \left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{2k-2}{n^2}+\dfrac{k^2-2k+1}{n^3}\right)\) | |
\(=\sum\limits_{k=1}^{n} \dfrac{1}{n}+\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{2k}{n^2}-\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{2}{n^2}+\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{k^2}{n^3}-\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{2k}{n^3}+\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n^3}\) | |
\(=\dfrac{1}{n}\cdot \sum\limits_{k=1}^{n} 1+\dfrac{2}{n^2}\cdot \sum\limits_{k=1}^{n}k\) \(-\dfrac{2}{n^2}\cdot \sum\limits_{k=1}^{n}1+\dfrac{1}{n^3}\cdot \sum\limits_{k=1}^{n}k^2-\dfrac{2}{n^3}\cdot \sum\limits_{k=1}^{n}k\) \(+\dfrac{1}{n^3}\cdot \sum\limits_{k=1}^{n}1\) | |
\(=\dfrac{1}{n}\cdot n+\dfrac{2}{n^2}\cdot \dfrac{n (n+1)}{2}\) \(-\dfrac{2}{n^2}\cdot n+\dfrac{1}{n^3}\cdot \dfrac{n(n+1) (2n+1)}{6}\) \(-\dfrac{2}{n^3}\cdot \dfrac{n (n+1)}{2}+\dfrac{1}{n^3}\cdot n\) | |
\(=1+\dfrac{n+1}{n}-\dfrac{2}{n}+\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}-\dfrac{n+1}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}\) | |
\(=1+1+\dfrac{1}{n}-\dfrac{2}{n}+\dfrac{2n^2+3n+1}{6n^2}-\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}+\dfrac{1}{n^2}\) | |
\(=2-\dfrac{2}{n}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{6n^2}\) | |
\(=\dfrac{7}{3}-\dfrac{3 }{2n}+\dfrac{1}{6n^2}\) |
Wir erhalten die folgende Summe:
\(\qquad U(\Delta_n)=\dfrac{7}{3}-\dfrac{3 }{2n}+\dfrac{1}{6n^2}\)
Da die beiden Terme \(\frac{3}{2n}\) und \(\frac{1}{6n^2}\) mit zunehmendem \(n\) immer kleiner werden und gegen \(0\) gehen, existiert also der Grenzwert und wir erhalten
\(\qquad \lim\limits_{n\to \infty}U(\Delta_n)=\dfrac{7}{3}\)
Betrachten wir nun die Obersumme \(O(\Delta_n)\):
\(\qquad O(\Delta_n)=O_1+O_2+\ldots +O_n\)
Für die Höhe der Streifen der Obersumme ist jeweils der Funktionswert am rechten Rand eines Streifens maßgebend. Bei den Obersummen hat das Rechteck über dem Streifen von \(1+\frac{k-1}{n}\) bis \(1+\frac{k}{n}\) die Breite \(\frac{1}{n}\) und die Höhe \(f\left(1+\frac{k}{n}\right)\). Ein Rechteck \(O_k\) mit \(k=\{1,2,\ldots,n\}\) hat also folgenden Flächeninhalt:
\(\qquad O_k=\overbrace{\dfrac{1}{n}}^{\textsf{Breite}}\cdot \overbrace{\left(1+ \dfrac{k}{n}\right)^2}^{\textsf{H}\ddot{\textsf{o}}\textsf{he}}\)
\(\qquad \phantom{O_k}=\dfrac{1}{n}\cdot \left(1+2\cdot \dfrac{k}{n}+\dfrac{k^2}{n^2}\right)\)
\(\qquad \phantom{O_k}=\dfrac{1}{n}+2\cdot \dfrac{k}{n^2}+\dfrac{k^2}{n^3}\)
Wir müssen nun ähnlich wie bei der Untersumme die folgende Summe bilden:
\(\qquad O(\Delta_n)\enspace\) | \(=O_1+O_2+\ldots +O_n\) |
Berechnung von \(O(\Delta_n)\)
Zur Berechnung der Obersumme benutzen wir die beiden folgenden Summenformeln:
\(\qquad \sum \limits_{k=1}^n{k} = 1+2+3+4+\ldots + n= \dfrac{n(n+1)}{2}\)
\(\qquad \sum \limits_{k=1}^n{k^2} = 1+4+9+16+\ldots + n^2= \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
Wir formen die Obersumme \(U(\Delta_n)\) um und wenden Rechenregeln für Summen an:
\(\qquad O(\Delta_n)\phantom{\dfrac{A}{A}}\) | \(=\sum\limits_{k=1}^n O_k\) |
\(=\sum\limits_{k=1}^n \left(\dfrac{1}{n}+\dfrac{2k}{n^2}+\dfrac{k^2}{n^3}\right)\) | |
\(=\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{n}+\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{2k}{n^2}+\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{k^2}{n^3}\) | |
\(=\dfrac{1}{n}\cdot \sum\limits_{k=1}^n 1+\dfrac{2}{n^2}\cdot \sum\limits_{k=1}^n k+\dfrac{1}{n^3}\cdot \sum\limits_{k=1}^n k^2\) | |
\(=1+\dfrac{2}{n^2}\cdot \dfrac{n(n+1)}{2}+\dfrac{1}{n^3}\cdot \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) | |
\(=1+\dfrac{n+1}{n}+\dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^2}\) | |
\(=1+\dfrac{n}{n}+\dfrac{1}{n}+\dfrac{2n^2+3n+1}{6n^2}\) | |
\(=1+1+\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{2n}+\dfrac{1}{6n^2}\) | |
\(=\dfrac{7}{3}+\dfrac{3}{2n}+\dfrac{1}{6n^2}\) |
Wir erhalten die folgende Summe:
\(\qquad O(\Delta_n)=\dfrac{7}{3}+\dfrac{3}{2n}+\dfrac{1}{6n^2}\)
Da auch hier die beiden Terme \(\frac{3}{2n}\) und \(\frac{1}{6n^2}\) mit zunehmendem \(n\) immer kleiner werden und gegen \(0\) gehen, existiert also der Grenzwert und wir erhalten
\(\qquad \lim\limits_{n\to \infty}O(\Delta_n)=\dfrac{7}{3}\)
Also sind die Grenzwerte von Ober- und Untersumme gleich, weshalb das Integral existiert und den folgenden Wert hat:
\(\qquad \displaystyle\int\limits_1^2 x^2 \, dx=\dfrac{7}{3}\)
\(\enspace\)