Beispiel des Energieverbrauchs eines Hybridmotors Flächen oberhalb und unterhalb der x-Achse
Wir wollen das nun an einem einfachen Beispiel nachrechnen. Wir betrachten hierzu die Funktion \(f:[1,4]\longrightarrow\mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=x-2\)
Der Graph dieser Funktion liegt im Bereich \([1, 2]\) unterhalb der \(x\)–Achse und im Bereich \([2, 4]\) oberhalb der \(x\)–Achse. Beide Flächenstücke, sowohl das unterhalb als auch das oberhalb der \(x\)–Achse sind rechtwinklige und gleichschenklige Dreiecke. Das Dreieck unterhalb der \(x\)-Achse hat eine Kathetenlänge von \(1\). Das Dreieck oberhalb der \(x\)-Achse von \(2\).
Das blaue Dreieck hat den Flächeninhalt
\(\qquad A_1=\dfrac{1\cdot 1}{2}=\dfrac{1}{2}\)
Das rote Dreieck hat den Flächeninhalt
\(\qquad A_2=\dfrac{2\cdot 2}{2}=2\)
Verrechnen wir das blaue Dreieck mit dem roten Dreieck, so erhalten wir als Differenz
\(\qquad A=A_2-A_1=2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)
Nun wollen wir dies auch durch Integration bestimmen.
In der folgenden Animation können Sie sich wieder die Unter- und Obersummen anschauen und die Anzahl Rechtecke zwischen \(1\) und \(100\) auswählen.
Wir betrachten hierzu die Untersummen.
Zu beachten ist, dass die Rechtecke beim Bilden der Untersumme über den Graphen hinausgehen, da immer der tiefste Punkt der Funktion über dem jeweiligen Rechtecksstreifen als Referenzpunkt für die Höhe des Rechtecks genommen wird.
Unterteilen wir das Intervall \([1,4]\) in \(n\) gleich breite Streifen, so erhalten wir Streifen der Breite \(\frac{3}{n}\). Der \(k\)-te Streifen geht hierbei von \(1+(k-1)\cdot \frac{3}{n}\) bis \(1+k\cdot \frac{3}{n}\). Der tiefste Punkt des Graphen liegt jeweils am linken Rand. Das \(k\)-te Rechteck berechnet sich deshalb wie folgt:
\(\qquad U_k=\overbrace{\dfrac{3}{n}}^{\textsf{Breite}}\cdot \overbrace{f\left(1+(k-1)\cdot \dfrac{3}{n}\right)}^{\textsf{H}\ddot{\textsf{o}}\textsf{he}}\) \(=\dfrac{3}{n}\cdot \left(1+(k-1)\cdot \dfrac{3}{n}-2\right)\) \(=(k-1)\cdot \dfrac{9}{n^2}-\dfrac{3}{n}\)
Wir bilden jetzt die Untersumme \(U(\Delta_n)\):
\(\qquad U(\Delta_n)\enspace\) | \(=U_1+U_2+\ldots +U_n\) |
Berechnung von \(U(\Delta_n)\)
Zur Berechnung der Untersumme benutzen wir die folgende Summenformel:
\(\qquad \sum \limits_{k=1}^n(k-1) = \dfrac{(n-1)\cdot n}{2}\)
Außerdem berechnet sich die Summe über einen konstanten Wert wie folgt:
\(\qquad \sum \limits_{k=1}^n c =\overbrace{c+\ldots +c}^{n\textsf{-mal}}=n\cdot c\)
Wir formen die Untersumme \(U(\Delta_n)\) um und wenden Rechenregeln für Summen an:
\(\qquad U(\Delta_n)\phantom{\dfrac{A}{A}}\) | \(=\sum\limits_{k=1}^n U_k\) |
\(=\sum\limits_{k=1}^n \left((k-1)\cdot \dfrac{9}{n^2}-\dfrac{3}{n}\right)\) | |
\(=\left(\sum\limits_{k=1}^n (k-1)\cdot \dfrac{9}{n^2}\right)-\left(\sum\limits_{k=1}^n \dfrac{3}{n}\right)\) | |
\(=\dfrac{9}{n^2} \sum\limits_{k=1}^n (k-1) - \dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=1}^n 3\) | |
\(=\dfrac{9}{n^2} \cdot \dfrac{(n-1)\cdot n}{2} -\dfrac{1}{n}\cdot 3n\) | |
\(=\dfrac{9}{n} \cdot \dfrac{n-1}{2} -3\) | |
\(=\dfrac{3}{2}-\dfrac{9}{2n}\) |
Wir erhalten die folgende Summe:
\(\qquad U(\Delta_n)=\dfrac{3}{2}-\dfrac{9}{2n}\)
Da der Term \(\frac{9}{2n}\) mit zunehmendem \(n\) immer kleiner wird und gegen \(0\) geht, existiert der Grenzwert und wir erhalten
\(\qquad \lim\limits_{n\to \infty}U(\Delta_n)=\dfrac{3}{2}\)
Mit einer ähnlichen Rechnung erhalten wir den gleichen Grenzwert für die Obersumme. Damit liefert die Integration also tatsächlich den gleichen Wert, den wir durch Verrechnung der unterhalb der \(x\)-Achse liegenden Flächenanteile mit denen der oberhalb liegenden erhalten haben.
Soll keine Verrechnung der negativen mit den positiven Flächenanteilen erfolgen, sondern der Gesamtwert der Fläche ermittelt werden, so muss über den Betrag von \(f\) integriert werden. Wir werden hierauf noch ausführlich in Kapitel "Flächenberechnung" eingehen.
\(\enspace\)