Flächen oberhalb und unterhalb der x-Achse Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist ein mathematischer Satz, der die beiden grundlegenden Konzepte der Analysis miteinander verbindet. Er besagt, dass das Integrieren die Umkehrung des Differenzierens ist und umgekehrt.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:
Ist \(F\) eine Stammfunktion einer auf \([a,b]\) stetigen Funktion \(f\), so gilt
\(\qquad \displaystyle\int_a^b f(x) \, dx=F(b)-F(a)\)
Für \(F(b)-F(a)\) wird oft auch die Notation \(\big[F(x)\big]_a^b\) verwendet.
Außer \(\big[F(x)\big]_a^b\) sind noch die folgenden Notationen üblich:
\(\qquad \big[F(x)\big]_{x=a}^{x=b}\) \(\qquad F(x)\Big|_{a}^{b}\) \(\qquad F(x)\Big|_{x=a}^{x=b}\qquad \)
Mit dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung und den Rechenregeln für unbestimmte Integrale lassen sich nun einfach bestimmte Integrale berechnen.
Beispiel:
Unmittelbar aus der Tabelle der Stammfunktionen entnehmen wir
\(\qquad \displaystyle\int \limits_1^2 x^2 \, dx=\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_1^2\) \(=\dfrac{2^3}{3}-\dfrac{1^3}{3}\) \(=\dfrac{7}{3}\)
Mithilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung lässt sich die Fläche zwischen \(x\)-Achse und Funktion im Intervall \([1,2]\) der Funktion jetzt sehr einfach bestimmen.
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