Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Linearität
Wie bei den Rechenregeln für unbestimmte Integrale gelten ähnliche Rechenregeln für bestimmte Integrale. So bleibt auch hier die Linearität erhalten.
Linearität:
Sind \(f(x)\) und \(g(x)\) zwei stetige Funktionen mit \(f:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\) und \(g:[a,b]\longrightarrow \mathbb{R}\).
Dann gilt mit \(s,t\in\mathbb{R}\):
\(\qquad \displaystyle\int \limits _a^b s\cdot f(x)\pm t\cdot g(x)\,dx=s \cdot \displaystyle\int \limits _a^b f(x)\, dx \pm t \cdot \displaystyle\int \limits _a^b g(x)\, dx \)
Beispiel:
Wir betrachten die Funktion \(f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}\) mit
\(\qquad f(x)=2\sin(x)-\cos(x)\)
und berechnen \(\displaystyle\int \limits _{\pi/2}^\pi f(x)\, dx\):
\(\qquad \displaystyle\int \limits _{\pi/2}^\pi f(x) \, dx = \displaystyle\int \limits _{\pi/2}^\pi 2\sin(x)-\cos(x) \, dx\)
\(\qquad \phantom{\displaystyle\int \limits _{\pi/2}^\pi f(x) \, dx} =2 \displaystyle\int \limits _{\pi/2}^\pi \sin(x)\, dx-\displaystyle\int \limits _{\pi/2}^\pi\cos(x) \, dx\)
\(\qquad \phantom{\displaystyle\int \limits _{\pi/2}^\pi f(x) \, dx} =2\Big[-\cos(x)\Big]_{\pi/2}^\pi-\Big[\sin(x)\Big]_{\pi/2}^\pi\)
\(\qquad \phantom{\displaystyle\int \limits _{\pi/2}^\pi f(x) \, dx} =-2\Big[\cos(x)\Big]_{\pi/2}^\pi-\Big[\sin(x)\Big]_{\pi/2}^\pi\)
\(\qquad \phantom{\displaystyle\int \limits _{\pi/2}^\pi f(x) \, dx} =-2\underbrace{\left(\cos(\pi)-\cos(\frac{\pi}{2})\right)}_{-1}-\underbrace{\left(\sin(\pi)-\sin(\frac{\pi}{2})\right)}_{-1}\)
\(\qquad \phantom{\displaystyle\int \limits _{\pi/2}^\pi f(x) \, dx} =-2\cdot (-1)-(-1)=2+1=3\)
\(\enspace\)